볼록 다각형

볼록 다각형은 경계의 두 점을 잇는 어떤 선분도 다각형 외부로 나가지 않는 단순 다각형 (자기교차하지 않는 것)이다. 동일하게, 이것은 내부가 볼록 집합인 단순 다각형이다.^[1] 볼록 다각형에서, 모든 내각은 180도와 같거나 작고, 엄격한 볼록 다각형은 모든 내각은 반드시 180도보다 작아야 한다.

볼록 다각형의 예시: 정오각형

특성

단순 다각형의 다음 특성은 모두 볼록성과 동일하다:

• 모든 내각은 180 도보다 작거나 같다.
• 다각형의 경계나 내부의 두 점을 잇는 선분 위의 모든 점은 경계에 있거나 내부에 있어야 한다.
• 다각형은 각각의 변에 의해서 정의되는 모든 닫힌 반평면에 완전히 포함되어야 한다.
• 모든 변에 대해서, 내부의 점은 모두 그 변에 의해서 정의되는 직선의 같은 쪽에 있어야 한다.
• 각 꼭짓점의 각은 다른 모든 꼭짓점을 그 변과 내부에 포함해야한다.
• 다각형은 그 변들의 볼록 폐포여야 한다.

볼록 다각형의 추가적인 특성은 다음을 포함한다:

• 두 볼록 다각형의 교집합은 볼록 다각형이다.
• 볼록 다각형은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 대각선을 추가하는 부채 삼각화를 통해서 선형 시간안에 삼각화할 수 있다.
• 헬리의 정리: 모든 최소 셋 이상의 볼록 다각형의 집합에 대해서: 그 집합 중 어떤 세 개의 교집합도 공집합이 아니라면, 전체 집합의 교집합은 공집합이 아니다.
• 크레인-밀만 정리: 볼록 다각형은 그 꼭짓점의 볼록 폐포이다. 따라서 이것은 그 꼭짓점만으로도 완전히 정의되고, 전체 다각형 모양을 복원하기 위해서는 꼭짓점만 필요하다.
• 초평면 분리정리: 어떤 점도 공통으로 가지지 않는 볼록 다각형 두 개는 분리선을 가진다. 다각형이 닫혀있고 최소 하나는 콤팩트 하다면, 심지어 (사이에 틈이 있는)평행한 분리선 두 개가 있을 수 있다.
• 내접 삼각형 특성: 볼록 다각형에 포함된 모든 삼각형에 대하여, 꼭짓점이 모두 다각형의 꼭짓점인 삼각형 중에 면적이 최대인 삼각형이 있다.^[2]
• 외접 삼각형 특성: 면적이 A인 모든 볼록 다각형은 최대 넓이가 2A인 삼각형에 내접한다. 평행사변형에 대해서 (배제적으로) 동일하게 작용한다.^[3]
• 외/내접 직사각형 특성: 평면의 모든 볼록체 C에 대해서, r과 양의 닮음비가 최대 2에서 ${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$인 닮은 직사각형 R이 C에 외접하는 직사각형 r을 C에 내접하게 만들 수 있다.^[4]
• 볼록 다각형의 평균 폭은 둘레를 파이로 나눈 값과 같다. 따라서 이 폭은 다각형과 같은 둘레를 가진 원의 지름이다.^[5]

원에 내접하는(다각형의 모든 꼭짓점이 원에 접촉하는) 자기교차하지 않는 모든 다각형은 볼록하다. 하지만 모든 볼록 다각형이 원에 내접하는 것은 아니다.

엄격한 볼록성

단순 다각형의 다음 특성은 모두 엄격한 볼록성과 동일하다:

• 모든 내각은 엄격하게 180도보다 작다.
• 내부의 두 점이나, 경계에 있지만 같은 변에 있지 않은 두 점을 잇는 모든 선분은 엄격하게 다각형의 내부에 있다(변에 양 끝점이 있을 경우에는 양 끝점을 제외한다).
• 모든 변에 대해서, 내부의 점과 그 변에 포함되지 않는 경계의 점은 변이 정의하는 직선의 같은 쪽에 위치한다.
• 각 꼭짓점의 각은 (주어진 꼭짓점과 인접한 두 꼭짓점을 제외한)다른 모든 꼭짓점을 내부에 포함한다.

같이 보기

• 오목 다각형
• 볼록 다포체
• 원형 도형
• 음함수 곡선#볼록 다각형의 매끄러운 근사
• 접선 다각형