뵈처 방정식

루찬 뵈처의 이름을 딴 뵈처 방정식(Böttcher's equation)은 함수 방정식

${\displaystyle F(h(z))=(F(z))^{n}}$

이다. 여기서

• ${\displaystyle h}$는 ${\displaystyle a}$에서 ${\displaystyle n}$차 초끌개 고정점을 가진 해석 함수로 주어진다. (즉, ${\displaystyle a}$의 이웃에서 ${\displaystyle h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})}$이고 ${\displaystyle n\geq 2}$)
• ${\displaystyle F}$가 찾던 함수이다.

이 함수 방정식의 로그는 슈뢰더 방정식과 같다.

해

함수 방정식의 해는 음함수 형태의 함수이다.

루찬 에밀 뵈처는 1904년에 해의 존재성에 대한 증명을 스케치했다. 고정점 ${\displaystyle a}$ 부근의 해석 함수 ${\displaystyle F}$는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle F(a)=0}$

이 해는 때때로 다음과 같이 불린다.

• 뵈처 좌표
• 뵈처 함수^[2]
• 뵈처 사상

완전한 증명은 1920년 조지프 릿에 의해 출판되었는데,^[3] 원래 공식을 알지 못했다.

뵈처 좌표(슈뢰더 함수의 로그)는 ${\displaystyle h(z)}$를 고정점 부근의 함수 ${\displaystyle z^{n}}$에 켤레화한다. 특히 중요한 경우는 ${\displaystyle h(z)}$가 ${\displaystyle n}$ 차 다항식이고 ${\displaystyle a=\infty }$인 경우이다.^[4]

명시적 형식

다음에 대한 뵈처 좌표를 명시적으로 계산할 수 있다.^[5]

• 사상 ${\displaystyle z\to z^{d}}$
• 체비쇼프 다항식

예

함수 ${\displaystyle h}$ 및 n=2의 경우^[6]

${\displaystyle h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}}$

뵈처 함수 ${\displaystyle F}$는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}}$

응용

뵈처의 방정식은 하나의 복소 변수 다항식 반복을 연구하는 정칙 동적계의 일부에서 근본적인 역할을 한다.

뵈처 좌표의 전역 속성은 파투^[7][8]와 두아디 및 허바드에 의해 연구되었다.^[9]

같이 보기

• 슈뢰더 방정식
• 외부 광선