부정 방정식

부정 방정식(不定方程式)은 해의 개수가 무한히 많은 방정식으로, 예를 들어 ${\displaystyle y=2x}$는 부정 방정식이다. 디오판토스 방정식은 해가 정수인 경우에 대한 부정 방정식이다.

그 외에도, 일차 방정식 ${\displaystyle ax+b=0}$에서 상수 ${\displaystyle a}$가 0이고 상수 ${\displaystyle b}$가 0일 때 ${\displaystyle 0\times x=0}$의 꼴로 정리된다. 이때, 임의의 실수 ${\displaystyle R}$에 대해 ${\displaystyle 0\times R=0}$이므로 ${\displaystyle x}$는 '모든 실수'이다. 이를 부정이라고 한다.

해법

연립방정식의 기준으로 보면, 부정 방정식(indeterminate equation)은 (미지수의 문자항 개수) > (방정식의 개수)이다.

${\displaystyle x^{2}=0\ }$

${\displaystyle x^{2}=0\Leftrightarrow x=0\ (\because \ x=real\ number\ \mathbb {R} ,x^{2}=0\ or\ natural\ number\ \mathbb {N} )}$

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=0\Leftrightarrow x_{1}=0,x_{2}=0}$

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n-1}}^{2}+{x_{n}}^{2}=0\Leftrightarrow x_{1}=0,x_{2}=0+\cdots +x_{n-1}=0,x_{n}=0}$, 이므로

${\displaystyle (x_{1}+1)^{2}+({x_{2}}+2)^{2}=0}$일 때,

${\displaystyle (x_{1}+1)=0,(x_{2}+2)=0}$,

${\displaystyle x_{1}=-1,x_{2}=-2}$이다.

이것은 ${\displaystyle {x_{1}}^{2}+2x_{1}+1+{x_{2}}^{2}+4x_{2}+4=0}$에 대한 완전제곱식(full square equation)의 해법이다.

또한, 판별식(D,discriminant)에 의한 해법은,

${\displaystyle x_{1}}$에 대해 2차방정식을 가정하면, ${\displaystyle {x_{1}}^{2}+2x_{1}+({x_{2}}^{2}+4x_{2}+5)=0}$이고,

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$이므로,

${\displaystyle (-2)^{2}-4({x_{2}}^{2}+4x_{2}+5)=-(x_{2}+2)^{2}}$이므로

${\displaystyle (x_{2}+2)=0,x_{2}=-2}$이고,

대입(substitution)하면,

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+2x_{1}+1+4-8+4={x_{1}}^{2}+2x_{1}+1=(x_{1}+1)^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}+1)^{2}=0,x_{1}=-1}$이다.

같이 보기

• 부정형
• 선형대수학