분포 정수 모델

전기공학에서 전기 회로의 분포 정수 모델(distributed-element model) 또는 전송 선로 모델(transmission-line model)은 회로의 속성(전기저항, 전기 용량, 유도계수)이 회로 재료 전체에 걸쳐 연속적으로 분포한다고 가정한다. 이는 이러한 값들이 완벽하게 전도되는 철사로 연결된 전기 부품으로 집중된다고 가정하는 보다 일반적인 집중 상수 모델과 대조된다. 분포 정수 모델에서는 각 회로 요소가 무한소적으로 작고, 요소를 연결하는 전선이 완벽한 도체라고 가정하지 않는다. 즉, 전선은 온저항을 가지고 있다. 집중 상수 모델과 달리 각 분기마다 불균일한 전류와 각 전선마다 불균일한 전압을 가정한다.

그림 1 전송선로. 전송선로에 적용된 분포 정수 모델.

분포 정수 모델은 파장이 회로의 물리적 치수와 비슷해져 집중 상수 모델이 부정확해질 때 사용된다. 이는 파장이 매우 짧은 고진동수 또는 송전선과 같이 저주파이지만 매우 긴 전송선로에서 발생한다.

응용

분포 정수 모델은 집중 상수 모델보다 더 정확하지만 더 복잡하다. 무한소를 사용하면 종종 미적분학의 적용이 필요하지만, 집중 상수 모델로 분석된 회로는 선형대수학으로 풀 수 있다. 따라서 분포 정수 모델은 정확도가 필요할 때만 일반적으로 적용된다. 이 지점의 위치는 특정 응용 분야에서 요구되는 정확도에 따라 달라지지만, 기본적으로 신호의 파장이 구성 요소의 물리적 치수와 비슷해지는 회로에서 사용해야 한다. 흔히 인용되는 공학적 경험 법칙(많은 예외가 있으므로 너무 문자 그대로 받아들여서는 안 됨)은 파장의 10분의 1보다 큰 부품은 일반적으로 분포 정수 요소로 분석해야 한다는 것이다.^[1]

전송선로

전송선로는 분포 정수 모델 사용의 일반적인 예이다. 회로의 작동 주파수에 비해 선로 길이가 일반적으로 여러 파장이 되기 때문에 그 사용이 불가피하다. 송전선에 사용되는 저주파에서도 파장의 10분의 1은 60Hz에서 약 500km에 불과하다. 전송선로는 그림 1에 나타낸 바와 같이 일반적으로 주 선로 정수를 사용하여 표현된다. 이 모델로부터 회로의 동작은 주 선로 정수로부터 계산할 수 있는 부 선로 정수로 설명된다.

주 선로 정수는 일반적으로 선로를 따라 위치에 따라 일정하게 유지되어 특히 간단한 분석과 모델을 제공한다. 그러나 항상 그런 것은 아니며, 선로를 따라 물리적 치수의 변화는 주 선로 정수의 변화를 유발한다. 즉, 주 선로 정수는 이제 거리에 대한 함수로 설명되어야 한다. 대부분의 경우 이러한 상황은 제조 오류와 같이 이상적인 것에서 원치 않는 편차를 나타내지만, 구성 요소의 기능의 일부로 이러한 종방향 변화가 의도적으로 도입되는 구성 요소도 여러 가지 있다. 이의 잘 알려진 예는 혼 안테나이다.

선로에 반사가 있는 경우, 상당히 짧은 선로 길이에서도 집중 상수 모델로는 예측할 수 없는 효과를 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1/4 파장 선로는 종단 온저항을 쌍대로 변환한다. 이는 매우 다른 임피던스일 수 있다.

고주파 트랜지스터

그림 2. 접합형 트랜지스터의 베이스 영역은 단순화된 전송선로로 모델링할 수 있다.

분포 정수 요소를 사용하는 또 다른 예는 고주파에서 접합형 트랜지스터의 베이스 영역을 모델링하는 것이다. 베이스 영역을 단순히 집중 상수 요소로 취급하면 베이스 영역을 가로지르는 전하 운반자의 분석이 부정확하다. 더 성공적인 모델은 베이스 재료의 분포된 벌크 저항과 기판의 분포된 정전용량을 포함하는 단순화된 전송선로 모델이다. 이 모델은 그림 2에 나타나 있다.

저항률 측정

그림 3. 표면 탐침으로 벌크 재료의 저항률을 측정하기 위한 단순화된 배열.

많은 상황에서 표면에 전극 어레이를 적용하여 벌크 재료의 저항률을 측정하는 것이 바람직하다. 이 기술을 사용하는 분야 중에는 지구물리학(기판을 파고들 필요가 없기 때문)과 반도체 산업(유사한 이유로 비침습적이기 때문)이 실리콘 웨이퍼를 테스트하기 위해 있다.^[2] 기본적인 배열은 그림 3에 나타나 있지만, 일반적으로 더 많은 전극이 사용된다. 한편으로 측정된 전압과 전류, 다른 한편으로 재료의 저항률 사이의 관계를 형성하기 위해 재료를 무한소 저항 요소의 배열로 간주하여 분포 정수 모델을 적용해야 한다. 전송선로 예제와 달리 분포 정수 모델을 적용해야 하는 필요성은 파동 전파 고려 사항이 아니라 설정의 기하학적 구조에서 발생한다.^[3]

여기서 사용되는 모델은 진정한 3차원이어야 한다(전송선로 모델은 일반적으로 1차원 선의 요소로 설명됨). 또한 요소의 저항이 좌표의 함수일 수도 있으며, 실제로 지구물리학 응용 분야에서는 저항률이 변경된 영역이 감지하려는 대상일 수도 있다.^[4]

인덕터 권선

그림 4. 인덕터의 가능한 분포 정수 모델. 더 정확한 모델은 인덕턴스 요소와 함께 직렬 저항 요소도 필요할 것이다.

단순한 1차원 모델로는 충분하지 않은 또 다른 예는 인덕터의 권선이다. 코일은 인접한 권선 사이에(그리고 더 먼 권선 사이에도 있지만 효과는 점진적으로 감소함) 정전 용량을 갖는다. 단일층 솔레노이드의 경우 분포된 정전 용량은 그림 4에 나타낸 바와 같이 T₁ 권선과 T₂ 권선 사이의 인접한 권선 사이에 주로 존재하지만, 다층 권선 및 더 정확한 모델의 경우 다른 권선에 대한 분포된 정전 용량도 고려해야 한다. 이 모델은 간단한 계산에서 다루기가 상당히 어려우며, 대부분 피한다. 가장 일반적인 접근 방식은 모든 분포된 정전 용량을 코일의 유도 계수 및 저항과 병렬인 하나의 집중 상수 요소로 통합하는 것이다. 이 집중 상수 모델은 저주파에서는 성공적으로 작동하지만, 고주파에서는 특정 등가 회로를 연결하지 않고 단순히 인덕터의 전체 Q를 측정(또는 지정)하는 것이 일반적인 관행이 되는 고주파에서는 실패한다.^[5]

같이 보기

• 전신 방정식
• 분포 정수 회로
• 분포 정수 필터
• 워렌 P. 메이슨