불변 부분 공간

선형대수학에서, 선형 변환의 불변 부분 공간(不變部分空間, invariant subspace)은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 부분 벡터 공간이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subset V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle W}$를 ${\displaystyle T}$-불변 부분 공간이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle w\in W}$에 대하여, ${\displaystyle Tw\in W}$
• ${\displaystyle T(W)\subset W}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle V}$ 위의 선형 변환의 족 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subset V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle W}$를 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-불변 부분 공간이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ 및 ${\displaystyle w\in W}$에 대하여, ${\displaystyle Tw\in W}$
• 임의의 ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$에 대하여, ${\displaystyle W}$는 ${\displaystyle T}$-불변 부분 공간이다.

성질

선형 변환 ${\displaystyle T,U\colon V\to V}$가 ${\displaystyle TU=UT}$를 만족시킨다면, ${\displaystyle \ker U}$와 ${\displaystyle U(V)}$는 ${\displaystyle T}$-불변 부분 공간이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle v\in \ker U}$에 대하여,

${\displaystyle UTv=TUv=T0=0}$

이므로, ${\displaystyle Tv\in \ker U}$. 또한, 임의의 ${\displaystyle Uv\in U(V)}$에 대하여,

${\displaystyle TUv=UTv\in U(V)}$

특히, ${\displaystyle T}$는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.

• ${\displaystyle \{0_{V}\}}$
• ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \ker T}$
• ${\displaystyle T(V)}$
• ${\displaystyle V_{\lambda }\qquad (\lambda \in \sigma _{T})}$
• ${\displaystyle \ker p(T)\qquad (p\in K[x])}$

선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$를 ${\displaystyle T}$-불변 부분 공간 ${\displaystyle W}$에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 ${\displaystyle T|_{W}}$를 얻을 수 있다.

${\displaystyle T|_{W}\colon W\to W}$

${\displaystyle T|_{W}\colon w\mapsto Tw}$

또한, 몫 벡터 공간 ${\displaystyle V/W}$ 위에 다음과 같은 선형 변환 ${\displaystyle T_{/W}}$를 유도할 수 있다.

${\displaystyle T_{/W}\colon V/W\to V/W}$

${\displaystyle T_{/W}\colon v+W\mapsto Tv+W}$

${\displaystyle T|_{W}}$의 특성 다항식은 ${\displaystyle T}$의 특성 다항식을 나누며, ${\displaystyle T|_{W}}$의 최소 다항식은 ${\displaystyle T}$의 최소 다항식을 나눈다.

행렬 표현

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$
• 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$
• ${\displaystyle T}$-불변 부분 공간 ${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle W}$의 기저 ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}}$
• ${\displaystyle V/W}$의 기저 ${\displaystyle \{v_{r+1}+W,v_{r+2}+W,\dots ,v_{n}+W\}}$

그렇다면, ${\displaystyle T,T|_{W},T_{/W}}$의 행렬

${\displaystyle A=[T]_{(v_{i})_{i=1}^{n}}}$

${\displaystyle B=[T|_{W}]_{(v_{i})_{i=1}^{r}}}$

${\displaystyle C=[T_{/W}]_{(v_{i}+W)_{i=r+1}^{n}}}$

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}B&D\\0&C\end{pmatrix}}\qquad D\in \operatorname {Mat} (r,n-r;K)}$

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$
• 선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to V}$
• ${\displaystyle T}$-불변 부분 공간 ${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}}$. 또한, ${\displaystyle V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \cdots \oplus W_{k}}$
• ${\displaystyle W_{i}}$의 기저 ${\displaystyle \{v_{i1},v_{i2},\dots ,v_{ir_{i}}\}}$

그렇다면, ${\displaystyle T,T|_{W_{1}},T|_{W_{2}},\dots ,T|_{W_{k}}}$의 위에서 정한 기저에 대한 행렬 ${\displaystyle A,A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}}$ 사이에 다음 관계가 성립한다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}\\&A_{2}\\&&\ddots \\&&&A_{k}\end{pmatrix}}}$

외부 링크

• “Invariant subspace”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Invariant subspace problem” (PDF). 《PlanetMath》 (영어).^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
• “Definition:Invariant subspace”. 《ProofWiki》 (영어).