불완전 감마 함수

수학에서 불완전 감마 함수(不完全Γ函數, 영어: incomplete gamma function)는 감마 함수를 확장한 특수 함수로, 원래 감마함수의 정의에서 적분 구간을 변경한 것이다.

정의

상부 불완전 감마함수(上部不完全Γ函數, 영어: upper incomplete gamma function)는 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t}$

하부 불완전 감마함수(下部不完全Γ函數, 영어: lower incomplete gamma function)는 다음과 같다.

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t}$

성질

감마 함수의 정의에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s)}$

부분적분을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)\Gamma (s-1,x)+x^{s-1}e^{-x}}$

${\displaystyle \gamma (s,x)=(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}e^{-x}}$

미분

• ${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{s-1}}{e^{x}}}}$

Meijer의 G 함수의 특별한 경우에서^[1]:

${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)}$

${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}}$ 언제 ${\displaystyle |z|<1}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$ 과 ${\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$