브릴루앵 분광학

브릴루앵 분광학(영어: Brillouin spectroscopy)은 물질의 탄성 계수를 결정할 수 있는 경험적 분광학 기술이다. 이 기술은 결정 내에서 음향 포논과 마주칠 때 빛의 비탄성 산란을 이용하는데, 이는 브릴루앵 산란으로 알려진 과정으로, 포논 에너지와 그에 따른 물질의 원자간 전위를 결정한다.^[1] 이 산란은 전자기파가 밀도파와 상호작용할 때, 즉 광자-포논 산란으로 발생한다.

이 기술은 광물 물리학과 재료 과학에서 재료의 탄성 특성을 결정하는 데 일반적으로 사용된다. 브릴루앵 분광학은 주어진 물질의 완전한 탄성 텐서를 결정하는 데 사용될 수 있으며, 이는 벌크 탄성 특성을 이해하는 데 필요하다.

라만 분광법과의 비교

예시 브릴루앵 및 라만 스펙트럼의 그림. 실제로 브릴루앵 분광법과 라만 분광법의 구분은 어떤 주파수를 샘플링할 것인지에 따라 달라진다. 브릴루앵 산란은 일반적으로 GHz 주파수 영역에 속한다.

브릴루앵 분광학은 여러 면에서 라만 분광법과 유사하다. 사실 관련된 물리적 산란 과정은 동일하다. 그러나 얻는 정보의 종류는 상당히 다르다. 라만 분광학에서 관찰되는 과정인 라만 산란은 주로 고주파 분자 진동 모드를 포함한다. 탄산염 이온 (CO₃)²⁻의 여섯 가지 정규 진동 모드와 같은 진동 모드에 대한 정보는 라만 분광학 연구를 통해 얻을 수 있으며, 이는 구조와 화학적 조성에 대한 정보를 제공한다.^[2] 반면 브릴루앵 산란은 저주파 포논에 의한 광자 산란을 포함하며 탄성 특성에 대한 정보를 제공한다.^[3] 라만 분광학에서 측정되는 광학 포논과 분자 진동은 일반적으로 10에서 4000 cm⁻¹ 사이의 파수를 가지는 반면, 브릴루앵 산란에 관련된 포논은 0.1–6 cm⁻¹ 정도이다. 이 대략 두 자릿수 차이는 라만 분광학 대 브릴루앵 분광학 실험을 수행하려고 할 때 명백해진다.

브릴루앵 산란과 라만 산란에서 에너지와 운동량은 다음 관계에서 보존된다.^[1]

${\displaystyle \hbar \Omega =\pm \hbar (\omega _{i}-\omega _{s})}$

${\displaystyle q=(k_{t}-k_{s})}$

여기서 ω와 k는 각각 광자의 각주파수와 파수 벡터이다. 포논 각주파수와 파수 벡터는 Ω와 q이다. 아래 첨자 i와 s는 입사파와 산란파를 나타낸다. 첫 번째 방정식은 입사 광자, 산란 광자 및 상호작용하는 포논 시스템에 에너지 보존을 적용한 결과이다. 에너지 보존을 적용하면 브릴루앵 산란이 발생하는 주파수 영역도 명확해진다. 포논으로부터 입사 광자에 전달되는 에너지는 비교적 작으며, 일반적으로 광자 에너지의 약 5-10% 정도이다.^[4] 가시광선의 대략적인 주파수(~10¹⁴ Hz)를 고려하면 브릴루앵 산란이 일반적으로 GHz 영역에 속한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

두 번째 방정식은 시스템에 운동량 보존을 적용한 것을 설명한다.^[1] 생성되거나 소멸되는 포논은 입사파 및 산란파의 파수 벡터의 선형 결합인 파수 벡터를 갖는다. 이 방향은 실험 장치의 방향이 논의될 때 더 명확해지고 중요해질 것이다.

종파(L)와 횡파(T) 음파 사이의 기하학적 관계

이 방정식은 광자와 포논 사이의 구성적(스토크스) 및 파괴적(반스토크스) 상호 작용을 모두 설명한다. 스토크스 산란은 물질이 광자를 흡수하여 포논을 생성하고, 흡수된 광자보다 낮은 에너지의 광자를 비탄성적으로 방출하는 상호 작용 시나리오를 설명한다. 반스토크스 산란은 들어오는 광자가 포논을 흡수(포논 소멸)하고, 흡수된 광자보다 높은 에너지의 광자가 방출되는 상호 작용 시나리오를 설명한다. 그림은 실험 데이터에서 볼 수 있는 스토크스와 반스토크스 상호 작용과 함께 라만 산란과 브릴루앵 산란의 차이를 보여준다.

이 그림은 세 가지 중요한 세부 사항을 묘사한다. 첫째는 0 cm⁻¹에서 억제된 피크인 레일리 선이다. 이 피크는 입사 광자와 샘플로부터의 탄성 산란의 한 형태인 레일리 산란의 결과이다. 레일리 산란은 입사 광자로부터 발생하는 원자의 유도된 분극이 원자의 가능한 진동 모드와 결합하지 않을 때 발생한다. 결과적으로 방출되는 복사 에너지는 입사 복사와 동일하며, 이는 주파수 이동이 관찰되지 않음을 의미한다. 이 피크는 일반적으로 매우 강렬하며 브릴루앵 분광학에 직접적인 관심 대상은 아니다. 실험에서 입사광은 대부분 고출력 레이저이다. 이로 인해 관심 있는 브릴루앵 피크를 씻어낼 수 있는 매우 강렬한 레일리 피크가 발생한다. 이를 조정하기 위해 대부분의 스펙트럼은 레일리 피크가 필터링되거나 억제된 상태로 그려진다.

그림에서 두 번째 주목할 만한 점은 브릴루앵 피크와 라만 피크의 구별이다. 앞에서 언급했듯이 브릴루앵 피크는 0.1 cm⁻¹에서 약 6 cm⁻¹까지 범위인 반면 라만 산란 파수는 10에서 10000 cm⁻¹까지 다양하다.^[1] 브릴루앵과 라만 분광학이 근본적으로 다른 상호 작용 영역을 탐구하기 때문에 이는 크게 불편한 점은 아니다. 그러나 브릴루앵 상호 작용이 매우 낮은 주파수라는 사실은 파브리-페로 간섭계가 일반적으로 사용되는 실험을 수행할 때 기술적인 문제를 야기한다. 라만 분광 시스템은 일반적으로 기술적으로 덜 복잡하며 회절격자 기반 분광계로 수행할 수 있다. 일부 경우 단일 회절격자 기반 분광계를 사용하여 샘플에서 브릴루앵 및 라만 스펙트럼을 모두 수집하기도 했다.^[5]

이 그림은 또한 스토크스 산란과 반스토크스 산란의 차이를 강조한다. 스토크스 산란(양의 광자 생성)은 파수에서 양의 변화로 표시된다. 반스토크스 산란(음의 광자 소멸)은 파수에서 음의 변화로 표시된다. 피크의 위치는 동일한 에너지 준위 전이에 해당하지만 부호가 다르기 때문에 레일리 선에 대해 대칭이다.^[4]

실제로 브릴루앵 스펙트럼에서는 일반적으로 6개의 관심 브릴루앵 선이 나타난다. 음파는 세 가지 편광 방향을 가지는데, 하나는 종방향이고 두 개는 서로 직교하는 횡방향이다. 고체는 적절한 압력 범위 내에서 거의 비압축성으로 간주될 수 있으므로 전파 방향과 평행하게 압축을 통해 전달되는 종파는 에너지를 물질을 통해 쉽게 전달할 수 있으므로 빠르게 이동한다. 반면에 횡파의 움직임은 전파 방향에 수직이므로 매체를 통해 쉽게 전파되지 않는다. 결과적으로 종파는 횡파보다 고체를 통해 더 빠르게 이동한다. 이에 대한 예는 석영에서 볼 수 있는데, 대략적인 음향 종파 속도는 5965 m/s이고 횡파 속도는 3750 m/s이다. 유체는 횡파를 지지할 수 없다. 결과적으로 유체의 브릴루앵 스펙트럼에서는 횡파 신호가 발견되지 않는다. 이 방정식은 음파 속도 V, 각 주파수 Ω, 그리고 포논 파수 q 사이의 관계를 보여준다.^[1]

${\displaystyle V=\Omega /q}$

방정식에 따르면, 다양한 속도를 가진 음파는 브릴루앵 스펙트럼에서 다양한 파수로 나타날 것이다. 빠른 파동은 더 높은 크기의 파수를 가지며, 느린 파동은 더 작은 파수를 가진다. 따라서 세 개의 구별되는 브릴루앵 선이 관찰될 것이다. 등방성 고체에서는 두 개의 횡파가 퇴화될 것인데, 이는 탄성적으로 동일한 결정학적 평면을 따라 이동하기 때문이다. 비등방성 고체에서는 두 개의 횡파가 서로 구별될 수 있지만, 연구되는 물질에 대한 더 깊은 이해 없이는 수평 또는 수직 편광으로 구별할 수 없다. 따라서 이들은 일반적으로 횡파 1과 횡파 2로 명명된다.

응용 분야

대칭 감소 후 입방정 탄성 텐서

브릴루앵 분광학은 고체의 완전한 탄성 텐서 ${\displaystyle c_{ijkl}}$를 결정하는 데 유용한 도구이다. 탄성 텐서는 81개의 성분을 가진 3x3x3x3 행렬로, 훅의 법칙을 통해 주어진 재료 내의 응력과 변형률을 관련시킨다. 탄성 텐서 내에서 발견되는 독립적인 탄성 상수의 수는 대칭 연산을 통해 줄어들 수 있으며, 주어진 재료의 대칭에 따라 비결정질 물질의 경우 2개에서 입방정 결정의 경우 3개, 삼사정계 대칭을 가진 시스템의 경우 21개까지 다양하다. 이 텐서는 주어진 재료에 고유하며, 따라서 각 재료의 탄성 특성을 이해하기 위해 독립적으로 결정되어야 한다. 탄성 텐서는 지구 깊은 곳의 광물들의 벌크, 다결정질 특성을 이해하고자 하는 광물 물리학자와 지진학자들에게 특히 중요하다. 압축 연구를 통한 상태 방정식 결정과 같은 기술을 통해 완전한 탄성 텐서를 먼저 찾지 않고도 단열 벌크 계수 ${\displaystyle K_{s}}$와 같은 재료의 탄성 특성을 결정할 수 있다. 그러나 이런 방식으로 발견된 탄성 특성은 지구 맨틀 내의 암석 집합체와 같은 벌크 시스템에 잘 적용되지 않는다. 무작위로 배향된 결정으로 이루어진 벌크 재료의 탄성 특성을 계산하려면 탄성 텐서가 필요하다.

방정식 3을 사용하여 재료를 통한 음속을 결정할 수 있다. 탄성 텐서를 얻으려면 크리스토펠 방정식을 적용해야 한다.

${\displaystyle c_{ijkl}\Lambda _{kl}=\lambda _{kl}\delta _{kl}p_{kl}}$

크리스토펠 방정식은 본질적으로 탄성 텐서 ${\displaystyle c_{ijkl}}$를 결정 방향과 입사광의 방향 ${\displaystyle \Lambda _{kl}}$에 관련시키는 고유값 문제이며, 그 고유값은 ρV2와 같은 행렬 ${\displaystyle \lambda _{kl}}$에 관련시킨다. 여기서 ρ는 밀도이고 V는 음속이다. 편광 행렬 ${\displaystyle p_{kl}}$는 전파하는 파동의 해당 편광을 포함한다.

입방정 시스템에서 탄성 상수와 X 사이의 관계는 포논의 전파 방향 q 및 포논의 고유 벡터 U에 따라 달라지며, 여기서 L = 종파 및 T = 횡파 음파이다.^[6]

이 방정식을 사용하여 ${\displaystyle \Lambda _{kl}}$와 ${\displaystyle p_{ij}}$는 실험 설정에서 알려져 있고 V는 브릴루앵 스펙트럼에서 결정되므로 재료의 밀도를 알면 ${\displaystyle c_{ijkl}}$를 결정할 수 있다.

특정 대칭에 대해 탄성 상수 ${\displaystyle X}$의 특정 조합과 음파 속도 ρV2 사이의 관계가 결정되어 표로 작성되었다.^[7] 예를 들어, 입방정 시스템에서 ${\displaystyle c_{ijkl}}$는 3개의 독립적인 성분으로 줄어든다. 방정식 5는 입방정 재료에 대한 완전한 탄성 텐서를 보여준다.^[6] 탄성 상수 간의 관계는 표 1에서 찾을 수 있다.

입방정 물질에서는 순수 종파 및 순수 횡파 포논 속도로부터 완전한 탄성 텐서를 결정할 수 있다. 위 계산을 수행하려면 포논 파수 q가 실험의 기하학적 구조에서 미리 결정되어야 한다. 브릴루앵 분광학에는 세 가지 주요 기하학적 구조가 있다: 90도 산란, 후방 산란 및 혈소판 기하학.

주파수 이동

브릴루앵 산란으로 인한 입사 레이저 빛의 주파수 이동은 다음과 같다.^[8]

${\displaystyle \Delta \omega =v_{\text{s}}{\frac {2n\omega }{c}}\sin {\frac {\theta }{2}}}$

여기서 ${\displaystyle \omega }$는 빛의 각주파수이고, ${\displaystyle v_{\text{s}}}$는 음파의 속도(매질 내 음속), ${\displaystyle n}$은 굴절률, ${\displaystyle c}$는 진공에서의 광속, 그리고 ${\displaystyle \theta }$는 빛의 입사각이다.

같이 보기

• 브릴루앵 산란
• 라만 분광법