비가환 원환면

비가환 기하학에서 비가환 원환면(非可換圓環面, 영어: noncommutative torus)은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다.^[1][2]

정의

추상적 정의

단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.

${\displaystyle U\colon \operatorname {C*Alg} \to \operatorname {Set} }$

이는 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle F\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {C*Alg} }$

를 가지며, 이를 통해 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다.

이제, ${\displaystyle n}$개의 생성원 ${\displaystyle U_{1},\dotsc ,U_{n}}$으로 생성되는 자유 C* 대수 ${\displaystyle A_{n}}$을 생각하자. 반대칭 ${\displaystyle n\times n}$ 실수 행렬

${\displaystyle \theta \in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}$

가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\theta }}$를 생각하자.

${\displaystyle U_{i}V_{j}=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta _{ij})U_{j}V_{i}}$

이에 대한 몫인 C* 대수

${\displaystyle A_{n,\theta }=A_{n}/{\mathfrak {I}}_{\theta }}$

를 ${\displaystyle \theta }$로 정의되는 ${\displaystyle n}$차원 비가환 원환면(영어: ${\displaystyle n}$-dimensional noncommutative torus defined by ${\displaystyle \theta }$)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle \theta =0}$일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는 ${\displaystyle n}$차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수의 C* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}=\{(x_{1}+\mathbb {Z} ,\dotsc ,x_{n}+\mathbb {Z} )\colon x_{1},\dotsc ,x_{n}\in \mathbb {R} \}}$

일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.

${\displaystyle A_{n,0}\mapsto {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {C} )}$

${\displaystyle U_{i}\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} x_{i})}$

기하학적 정의

무리수 ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$가 주어졌다고 하자. 이제, 원 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}$ 위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 르베그 공간

${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )}$

를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다.

${\displaystyle U\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )}$

${\displaystyle V\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )}$

${\displaystyle Uf(z)=zf(z)}$

${\displaystyle Vf(z)=f(\exp(-2\pi \mathrm {i} \theta )z)}$

즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

${\displaystyle UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU}$

그렇다면, 유계 작용소의 C* 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} ))}$ 속에서, ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$로 생성되는 부분 C* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 ${\displaystyle UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU}$에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 2차원 비가환 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} _{\theta }^{2}}$라고 한다.

성질

두 비가환 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} _{\theta }^{2}}$와 ${\displaystyle \mathbb {T} _{\theta '}^{2}}$는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

${\displaystyle \theta +\theta '\in \mathbb {Z} }$ 또는 ${\displaystyle \theta -\theta '\in \mathbb {Z} }$

두 비가환 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} _{\theta }}$와 ${\displaystyle \mathbb {T} _{\theta '}}$는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.^[3][4]

${\displaystyle \theta '={\frac {a\theta +b}{c\theta +d}}}$

여기서

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.^[5]