사차원 속도

특수 상대성 이론에서, 물체의 사차원 속도(四次元速度, 영어: four-velocity)는 로런츠 인자 ${\displaystyle \gamma }$와 고유 속도(proper velocity, celerity) ${\displaystyle \mathbf {u} =\gamma \mathbf {v} }$로 이루어진 사차원 벡터 ${\displaystyle u^{\mu }=(\gamma ,\mathbf {u} )=\gamma (1,\mathbf {v} )}$다. 물체가 시공간을 얼마나 빨리 이동하는지 나타내는 값으로 해석할 수 있다. 이름과 달리, 그 공간 성분은 (삼차원) 속도 ${\displaystyle \mathbf {v} }$가 아니라 고유 속도 ${\displaystyle \mathbf {u} =\gamma \mathbf {v} }$다. (삼차원 속도는 그 어느 사차원 벡터의 공간 성분도 이루지 않는다.)

정의

편의상 ${\displaystyle c=1}$로 놓자. 사차원 속도는 (사차원) 위치 ${\displaystyle x^{\mu }=(t,x,y,z)}$를 고유 시간 ${\displaystyle \tau }$로 미분한 값이다.

${\displaystyle u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$.

정의에 따라, 고유 시간은 로런츠 변환에 대한 스칼라이므로 사차원 속도는 (위치 ${\displaystyle x^{\mu }}$와 마찬가지로) 사차원 벡터다. 고유 시간은

${\displaystyle \tau =t/\gamma }$

이므로, 따라서

${\displaystyle u^{\mu }=\gamma {\frac {d}{dt}}x^{\mu }=\gamma (1,v_{x},v_{y},v_{z})}$

가 된다. 여기서 ${\displaystyle v_{x}=dx/dt}$, ${\displaystyle v_{y}=dy/dt}$, ${\displaystyle v_{z}=dz/dt}$는 물체의 삼차원 속도의 성분이다.

그 공간 성분 ${\displaystyle \mathbf {u} =\gamma \mathbf {v} }$는 고유 속도이다.

정의에 따라, 사차원 속도는

${\displaystyle u^{2}=\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}u^{\mu }u^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\gamma ^{2}-\gamma ^{2}\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=1}$

을 만족한다.^[1]:61 또한, 정지 질량이 ${\displaystyle m_{0}}$인 물체의 사차원 운동량은

${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}u^{\mu }}$

이다.