산술의 기본 정리

산술의 기본 정리(算術의基本定理, 영어: fundamental theorem of arithmetic)는 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 갖는다는 정리이다.

정의

소수의 집합을 ${\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {Z} ^{+}}$라고 하자. 산술의 기본 정리에 따르면, 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, 곱하여 ${\displaystyle n}$이 되는 소수의 유한 중복집합이 유일하게 존재한다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\subset \mathbb {P} }$ 및 ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재하며, 이는 ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$의 순열을 무시하면 유일하다.

${\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}$

만약 ${\displaystyle n=1}$인 경우, ${\displaystyle k=0}$이며, 이 소수 중복집합은 공집합이 된다.

추상대수학의 용어를 사용하면, 이는 정수의 환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$가 유일 인수 분해 정역이라는 명제와 동치이다.

증명

이 정리의 증명은 다음과 같은 두 단계로 나뉜다.

1 단계

첫 번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할 수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 ${\displaystyle n}$의 두 번째로 작은 약수는 반드시 소수여야 한다.(첫 번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 ${\displaystyle m}$이 두 번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면 (즉 합성수라면), 합성수의 정의에 의해서 ${\displaystyle 1<l<m}$이면서 ${\displaystyle m}$을 나누는 양의 정수 ${\displaystyle l}$이 존재하게 되고, 따라서 ${\displaystyle l}$은 ${\displaystyle n}$도 나눌 수 있기 때문에, ${\displaystyle m}$이 두 번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 ${\displaystyle n}$은 반드시 소수인 약수를 갖게 되며 이를 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle n=p_{1}n_{1}}$

만약,${\displaystyle n_{1}}$이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, ${\displaystyle n_{1}}$가 소수가 아니라면, ${\displaystyle n_{1}}$ 역시 1을 제외한 약수 중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle n=p_{1}p_{2}n_{2}}$

이를 소수만 남을 때까지 반복할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다.

2 단계

두 번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면) 유일함을 귀류법으로 증명한다. 만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다 큰 양의 정수가 있다고 가정해 보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,

${\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}=q_{1}q_{2}q_{3}...q_{l},}$ (${\displaystyle p_{1}\leq p_{2}\leq p_{3}\leq ...\leq p_{k},q_{1}\leq q_{2}\leq q_{3}\leq ...\leq q_{l}}$ 이고, ${\displaystyle p_{i}}$ 와 ${\displaystyle q_{j}}$는 소수, 그리고 ${\displaystyle p_{i}\neq q_{j}}$)

(${\displaystyle p_{i}=q_{j}}$이면, ${\displaystyle n'={\frac {n}{p_{i}}}={\frac {n}{q_{j}}}<n}$ 인 ${\displaystyle n'}$ 을 얻을 수 있는데 이는 소수의 곱이 유일하지 않은 1 보다 큰 정수 중 가장 작은 수가 n이라는 가정과 모순된다.)

한편 ${\displaystyle p_{1}^{2}\leq n,q_{1}^{2}\leq n}$이고 ${\displaystyle p_{1}^{2}}$과 ${\displaystyle q_{1}^{2}}$은 동시에 ${\displaystyle n}$이 될 수 없으므로, ${\displaystyle 0<p_{1}q_{1}<n}$

${\displaystyle N=n-p_{1}q_{1}}$ 이라고 한다면, ${\displaystyle 0<N<n}$ 이고, 또한 ${\displaystyle p_{1}|N}$, ${\displaystyle q_{1}|N}$ 이기 때문에, ${\displaystyle N}$의 유일한 소인수분해의 표현에는 ${\displaystyle p_{1}}$과 ${\displaystyle q_{1}}$가 동시에 존재하여야 한다.

따라서, ${\displaystyle p_{1}q_{1}|N}$이므로 ${\displaystyle N=p_{1}q_{1}S}$ (${\displaystyle S}$는 양의정수)

${\displaystyle n=N+p_{1}q_{1}=p_{1}q_{1}(S+1)}$

양변을 ${\displaystyle p_{1}}$으로 나누면

${\displaystyle {\frac {n}{p_{1}}}=q_{1}(S+1)}$

${\displaystyle p_{2}p_{3}p_{4}...p_{k}=q_{1}(S+1)}$, 즉 ${\displaystyle q_{1}|p_{2}p_{3}p_{4}...p_{k}}$

그러나 ${\displaystyle {\frac {n}{p_{1}}}}$는 ${\displaystyle n}$ 보다 작기 때문에 소인수분해가 유일하고, ${\displaystyle q_{1}\neq p_{i}}$이면서, 동시에 ${\displaystyle q_{1}}$은 소수이므로, 소수의 곱이 유일하지 않는 양의 정수가 있다는 가정은 모순이다.

같이 보기

• 대수학의 기본 정리
• 리만 제타 함수
• 오일러의 곱셈 공식
• 유일 인수 분해 정역
• 제곱수