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삼각 적분 함수

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삼각 적분 함수
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삼각 적분 함수(영어: Trigonometric integrals)은 삼각 함수의 변형의 적분들을 묶어서 말하는 것이다. 일반적인 삼각 함수의 적분은 적분표에서 볼 수 있으나 약간만 변형해도 비초등함수가 됨이 알려져 있다.

Thumb
Si(x) (파랑), Ci(x) (녹색)의 그래프

사인 적분 함수

요약
관점
Thumb
0  x  8π에 대한 Si(x)의 그래프

여러 다른 사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

에서 시작하는 정적분이며, 에서 끝나는 정적분이다.

여기서 싱크 함수혹은 0번째 구면 베셀 함수이다.

이면 디리클레 적분이 된다.

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코사인 적분 함수

요약
관점
Thumb
0 < x  8π에 대한 Ci(x)의 그래프.

여러 다른 코사인 적분 함수의 정의에는 다음이 있다.

에서 끝나는 의 정적분이다. 다음이 성립한다.

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쌍곡사인 적분 함수

요약
관점

쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

그리고 이 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

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쌍곡코사인 적분 함수

쌍곡 코사인 적분함수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 오일러-마스케로니 상수이다.

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전개

요약
관점

삼각 적분 함수의 계산을 위해 다양한 전개가 사용된다.

점근 전개(asymptotic expansion)

이 급수는 점근 전개(asymptotic expansion)이고 발산한다. 하지만 인 경우에도 근사값을 구하는데 이용할 수 있다.

수렴 급수

이 급수는 모든 복소수 에 대해 수렴하며, 이어도 점점 느리게 수렴하지만 고정밀도의 계산을 하려면 많은 항이 필요하다.

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지수 적분 함수의 허수부와 관계

요약
관점

아래의 함수는 지수 적분 함수라고 불리며

Si 와 Ci와 관련이 있다.:

x에 음수를 넣지 않는한, 두 함수는 해석적이다. 유효한 구간의 면적은 x의 실수부가 양수인 구간으로 확장할 수 있다. 이 범위를 벗어나면, 의 정수배 항이 등장한다.

일반화된 지수 적분 함수에 허수를 대입했을 때는 다음과 같다.

이것은 아래 식의 실수부이다.

비슷하게

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같이 보기

신호 처리

  • Gibbs phenomenon
  • Ringing artifacts

각주

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