삼진환

사영기하학에서 삼진환(三進環, 영어: ternary ring)은 사영 평면의 점의 일종의 좌표계를 구성할 수 있는 대수 구조이며, 하나의 3항 연산을 갖는다.

정의

삼진환 ${\displaystyle (R,\top ,0,1)}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle \top \colon R\times R\times R\to R}$는 3항 연산이다.
• ${\displaystyle 0\in R}$ 및 ${\displaystyle 1\in R}$는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle 0\neq 1}$
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in R}$에 대하여, ${\displaystyle \top (x,0,y)=\top (0,x,y)=\top (1,y,0)=\top (y,1,0)=y}$
• 임의의 ${\displaystyle x,y,x',y'\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\neq x'}$라면, ${\displaystyle \top (z,x,y)=\top (z,x',y')}$인 ${\displaystyle z\in X}$가 유일하게 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \top (x,y,w)=z}$인 ${\displaystyle w\in X}$가 유일하게 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle x,y,x',y'}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\neq x'}$라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 ${\displaystyle z,w\in X}$를 갖는다.

  ${\displaystyle \top (x,z,w)=y}$

  ${\displaystyle \top (x',z,w)=y'}$

성질

특별한 이항 연산

삼진환 ${\displaystyle (R,\top )}$이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자.

${\displaystyle x\oplus y=\top (x,1,y)}$

${\displaystyle x\otimes y=\top (x,y,0)}$

그렇다면, ${\displaystyle (R,\oplus ,0)}$ 및 ${\displaystyle (R,\otimes ,1)}$은 각각 항등원을 갖는 유사군을 이룬다.

삼진환에 대응하는 사영 평면

삼진환 ${\displaystyle (R,\top )}$이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 사영 평면 ${\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}$을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle X=L=R^{2}\sqcup R\sqcup R^{0}=\{()\}}$

이 사이의 인접 관계

${\displaystyle \vartriangleleft \subseteq X\times L}$

는 다음과 같다.

${\displaystyle (a,b)\vartriangleleft (c,d)\iff \top (a,c,d)=b}$

${\displaystyle (a,b)\vartriangleleft (c)\iff (a)\vartriangleleft (c,d)\iff a=c}$

${\displaystyle (a,b)\not \vartriangleleft ()}$

${\displaystyle ()\not \vartriangleleft (c,d)}$

${\displaystyle (a)\not \vartriangleleft (c)}$

${\displaystyle (a)\vartriangleleft ()}$

${\displaystyle ()\vartriangleleft (c)}$

${\displaystyle ()\vartriangleleft ()}$

또한,

${\displaystyle (0,0),(1,1),(),(0)\in X}$

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.^[1]

예

${\displaystyle (K,+,0,\cdot ,1)}$가 나눗셈환이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \top (x,y,z)=xy+z}$

를 정의한다면, 이는 삼중환을 이룬다.

역사

1941년에 마셜 홀(영어: Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(영어: ternary ring)이라는 용어를 도입하였다.^[2] 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, 영어: ternary field) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, 영어: planar ternary ring) 등으로 불린다.