샤르코우스키 정리

동역학계 이론에서 샤르코우스키 정리(Шарковський 定理, 영어: Sharkovskii’s theorem)는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 전순서의 꼬리이다.

정의

양의 정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to (\mathbb {N} \cup \{\infty \})\times \mathbb {Z} }$

${\displaystyle f\colon 2^{a}(2b+3)\mapsto (a,b)\qquad (a,b\in \mathbb {N} )}$

${\displaystyle f\colon 2^{a}\mapsto (\infty ,-a)\qquad (a\in \mathbb {N} )}$

${\displaystyle (\mathbb {N} \cup \{\infty \})\times \mathbb {Z} }$ 위에 사전식 순서를 줄 수 있다. 이 전순서를 ${\displaystyle f}$를 통해 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$에 부여할 수 있는데, 이를 샤르코우스키 순서(Шарковський順序, 영어: Sharkovskii order)라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle 3\prec 5\prec 7\prec 9\prec \cdots \prec 2\cdot 3\prec 2\cdot 5\prec 2\cdot 7\prec \cdots \prec 2^{2}\cdot 3\prec 2^{2}\cdot 5\prec \cdots \prec 2^{3}\prec 2^{2}\prec 2^{1}\prec 2^{0}}$

구간 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 위에 정의된 함수

${\displaystyle \phi \colon I\to I}$

의 주기점(영어: periodic point)은

${\displaystyle \overbrace {\phi \circ \cdots \circ \phi } ^{k}(x)=\phi ^{k}(x)=x}$

인 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 ${\displaystyle k}$를 주기점의 최소 주기(영어: least period)라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

샤르코우스키 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle \phi \colon I\to I}$가 연속 함수이며, ${\displaystyle \phi }$가 최소 주기가 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 ${\displaystyle m\succ n}$에 대하여 최소 주기가 ${\displaystyle m}$인 ${\displaystyle \phi }$의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle \{m\in \mathbb {Z} ^{+}\colon m\succeq n\}}$이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon I\to I}$가 존재한다.

리-요크 정리

구간 ${\displaystyle I}$ 위의 연속 함수 ${\displaystyle \phi \colon I\to I}$가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. 리-요크 정리([李]-Yorke定理, 영어: Li–Yorke theorem)^[1]에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle S\subset I}$가 존재한다.

• ${\displaystyle S}$는 주기점들을 포함하지 않는다.
• ${\displaystyle |S|=2^{\aleph _{0}}}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in S}$에 대하여 (${\displaystyle x\neq y}$),

  ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|>0}$

  ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|=0}$

• 임의의 ${\displaystyle x\in S}$ 및 주기점 ${\displaystyle y\in I\setminus S}$에 대하여,

  ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|\phi ^{n}(x)-\phi ^{n}(y)|>0}$

예

로지스틱 사상의 경우, ${\displaystyle r\gtrsim 1+{\sqrt {8}}}$인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다.^[2] 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다.

샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ 위에서 ${\displaystyle x\mapsto x+1/3}$의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다.

역사

샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(우크라이나어: Олекса́ндр Миколайович Шарко́вський, 러시아어: Алекса́ндр Никола́евич Шарко́вский 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키^[*])가 1964년에 증명하였다.^[3]

샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌(중국어: 李天岩, 병음: Lǐ Tiānyán, 한자음: 이천암, 영어: Tien-Yien Li)과 제임스 요크(영어: James A. Yorke)는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다.^[1] 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"(영어: chaos 케이오스^[*])이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다.