샤피로 시간 지연

샤피로 시간 지연(Shapiro time delay) 효과 또는 중력 시간 지연(gravitational time delay) 효과는 일반 상대성이론의 네 가지 고전적인 태양계 검증 중 하나이다. 거대한 물체 근처를 통과하는 레이더 신호는 물체의 질량이 없을 때보다 목표물에 도달하고 돌아오는 데 약간 더 오래 걸린다. 이 시간 지연은 외부 관찰자의 관점에서 빛이 주어진 거리를 이동하는 데 걸리는 시간을 증가시키는 시간 팽창으로 인해 발생한다. 1964년 "일반 상대성이론의 네 번째 검증"이라는 제목의 기사에서 어윈 I. 샤피로는 다음과 같이 썼다.^[1]

일반 이론에 따르면 빛의 파동 속도는 경로를 따라 중력 퍼텐셜의 강도에 따라 달라지기 때문에, 레이더 펄스가 태양 근처를 통과할 때 이러한 시간 지연은 거의 2×10⁻⁴초만큼 증가해야 한다. 이러한 변화는 거리로 60km에 해당하며, 현재 사용 가능한 장비로 요구되는 경로 길이에 대해 약 5~10% 이내로 측정할 수 있다.

이 기사에서 샤피로는 시간 지연을 논의하면서 c를 빛의 속도로 사용하고 아인슈타인 방정식의 슈바르츠실트 해에 따라 유한 좌표 거리를 통과하는 빛 파동 또는 광선의 시간 지연을 계산한다.

역사

시간 지연 효과는 1964년 어윈 샤피로에 의해 처음 예측되었다. 샤피로는 그의 예측에 대한 관측 검증을 제안했다. 금성과 수성의 표면에서 레이더 빔을 반사시켜 왕복 이동 시간을 측정하는 것이다. 지구, 태양, 금성이 가장 유리하게 정렬되었을 때, 샤피로는 태양의 존재로 인해 지구에서 금성으로 이동하고 다시 돌아오는 레이더 신호의 예상 시간 지연이 약 200마이크로초가 될 것이라고 보여주었다.^[1] 이는 1960년대 기술의 한계 내에 충분히 있었다.

MIT 헤이스택 레이더 안테나를 사용하여 1966년과 1967년에 수행된 첫 번째 테스트는 성공적이었고 예측된 시간 지연량과 일치했다.^[2] 이후 실험은 정확도를 높여 여러 번 반복되었다.

시간 지연 계산

왼쪽: 평평한 시공간에서 교란되지 않은 광선, 오른쪽: 중력 질량 근처에서 샤피로 지연되고 편향된 광선 (애니메이션 시작을 위해 클릭)

중간 강도의 거의 정적인 중력장(예: 별과 행성의 중력장이지, 블랙홀이나 중성자별의 근접 쌍성계의 중력장은 아님)에서 이 효과는 중력 시간 팽창의 특별한 경우로 간주될 수 있다. 중력장에서 빛 신호의 측정된 경과 시간은 중력장이 없을 때보다 길며, 중간 강도의 거의 정적인 장의 경우 그 차이는 표준 중력 시간 팽창 공식에 의해 주어진 바와 같이 고전적인 중력 퍼텐셜에 직접 비례한다.

단일 질량을 둘러싼 빛의 이동으로 인한 시간 지연

샤피로의 원래 공식은 슈바르츠실트 해에서 파생되었으며, 태양 질량(${\displaystyle M}$)에 대한 1차항을 포함하며, 지구 기반 레이더 펄스가 내행성에서 반사되어 태양에 가까이 지나갔다가 돌아오는 경우를 제안했다.^[1]

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4GM}{c^{3}}}\left(\ln \left[{\frac {x_{p}+(x_{p}^{2}+d^{2})^{1/2}}{-x_{e}+(x_{e}^{2}+d^{2})^{1/2}}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x_{p}}{(x_{p}^{2}+d^{2})^{1/2}}}+{\frac {2x_{e}+x_{p}}{(x_{e}^{2}+d^{2})^{1/2}}}\right]\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {G^{2}M^{2}}{c^{5}d}}\right),}$

여기서 ${\displaystyle d}$는 레이더 파동이 태양 중심에 가장 가깝게 접근하는 거리이고, ${\displaystyle x_{e}}$는 지구 기반 안테나에서 태양에 가장 가깝게 접근하는 지점까지의 비행선상의 거리이며, ${\displaystyle x_{p}}$는 이 지점에서 행성까지의 경로를 따른 거리를 나타낸다. 이 방정식의 우변은 주로 빛줄기의 가변 속도 때문이다. 경로 변화의 기여는 ${\displaystyle M}$에 대한 2차이기 때문에 무시할 수 있다. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$는 오차 차수의 란다우 기호이다.

질량이 큰 물체 주위를 도는 신호의 경우, 시간 지연은 다음과 같이 계산할 수 있다.^[3]

${\displaystyle \Delta t=-{\frac {2GM}{c^{3}}}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ).}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {R} }$은 관찰자로부터 원본을 향하는 단위 벡터이고, ${\displaystyle \mathbf {x} }$는 관찰자로부터 중력 질량 ${\displaystyle M}$을 향하는 단위 벡터이다. 점은 일반적인 유클리드 스칼라곱을 나타낸다.

${\displaystyle \Delta x=c\Delta t}$를 사용하면 이 공식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

${\displaystyle \Delta x=-R_{\text{s}}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ),}$

이는 빛이 이동해야 하는 가상의 추가 거리이다. 여기서 ${\displaystyle \textstyle R_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$는 슈바르츠실트 반지름이다.

PPN 매개변수에서

${\displaystyle \Delta t=-(1+\gamma ){\frac {R_{\text{s}}}{2c}}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ),}$

이는 뉴턴 예측( ${\displaystyle \gamma =0}$ 포함)의 두 배이다.

샤피로 인자의 두 배 증가는 중력 시간 팽창뿐만 아니라 공간의 방사형 신장도 있으며, 이 둘 모두 일반 상대성 이론에서 빛의 편향과 마찬가지로 시간 지연에 동일하게 기여한다는 사실로 설명할 수 있다.^[4]

${\displaystyle \tau =t{\sqrt {1-{\tfrac {R_{\text{s}}}{r}}}}}$

${\displaystyle c'=c{\sqrt {1-{\tfrac {R_{\text{s}}}{r}}}}}$

${\displaystyle s'={\frac {s}{\sqrt {1-{\tfrac {R_{\text{s}}}{r}}}}}}$

${\displaystyle T={\frac {s'}{c'}}={\frac {s}{c\left(1-{\tfrac {R_{\text{s}}}{r}}\right)}}}$

행성 간 탐사선

보이저 및 파이어니어 우주선과 같은 행성 간 탐사선까지의 거리를 정확하게 결정하려고 할 때 거리 측정 데이터와 함께 샤피로 지연을 고려해야 한다.

중성미자와 중력파의 샤피로 지연

SN 1987A에서 중성미자와 광자를 거의 동시에 관측한 결과, 고에너지 중성미자의 샤피로 지연은 광자의 샤피로 지연과 10% 이내에서 같아야 하며, 이는 최근의 중성미자 질량 추정치와 일치한다. 이는 해당 중성미자가 빛의 속력에 매우 가깝게 움직였다는 것을 의미한다. 2016년 중력파가 직접 검출된 후, 두 그룹에서 일방향 샤피로 지연을 계산했으며 약 1800일이다. 일반 상대성이론 및 기타 중력의 계량 이론에서는 중력파의 샤피로 지연이 빛과 중성미자의 샤피로 지연과 같을 것으로 예상된다. 그러나 텐서–벡터–스칼라 중력 및 밀그롬의 법칙을 재현하고 암흑물질의 필요성을 피하는 다른 수정된 일반 상대성이론에서는 중력파의 샤피로 지연이 중성미자 또는 광자의 샤피로 지연보다 훨씬 작다. 중성자별 합체 GW170817에서 중력파와 감마선 도착 시간 간에 관측된 1.7초 차이는 약 1000일로 추정된 샤피로 지연보다 훨씬 작았다. 이는 암흑물질의 필요성을 없애는 수정된 중력 모델의 한 종류를 배제한다.^[5]

같이 보기

• 중력적색편이 및 청색편이
• 중력렌즈
• 고유 시간
• VSOP (행성)
• 중력 자기 시간 지연