선적분의 기본정리

선적분의 기본정리는 다음과 같다.

집합 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 열린집합 ${\displaystyle U}$에서 정의된 벡터장 ${\displaystyle F:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$가 ${\displaystyle \operatorname {grad} \varphi =F}$인 일급함수 ${\displaystyle \varphi :U\longrightarrow \mathbb {R} }$가 존재하면 일급곡선 ${\displaystyle X:[a,b]\longrightarrow U}$를 따르는 선적분은

${\displaystyle \int _{X}F\cdot ds=\varphi (X(b))-\varphi (X(a))}$

로 주어진다.

(증명) ${\displaystyle \int _{X}F\cdot ds=\int _{a}^{b}\operatorname {grad} \varphi (X(t))\cdot X'(t)dt=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (X(t))dt=\varphi (X(b))-\varphi (X(a))}$

선적분 기본정리의 역

벡터장 ${\displaystyle F:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$의 선적분값이 곡선 ${\displaystyle C}$의 출발점과 도착점에만 의존하면 ${\displaystyle \operatorname {grad} \varphi =F}$인 함수 ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } 가 존재한다.

(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을 ${\displaystyle P}$, 도착점을 ${\displaystyle Q}$라고 하면 선적분값을 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$의 함수 ${\displaystyle f(P,Q)}$로 나타낼 수 있다. 한 점을 ${\displaystyle A}$라고 할 때, ${\displaystyle \varphi (X):=f(A,X)}$로 놓으면

${\displaystyle D_{i}\varphi (X)=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (X+hE_{i})-\varphi (X)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(X,X+hE_{i})}{h}}}$

인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 ${\displaystyle f(X,X+hE_{i})}$는 점 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle X+hE_{i}}$를 잇는 직선 ${\displaystyle \ell }$을 따라 선적분한 값이다. 직선 ${\displaystyle \ell }$을 ${\displaystyle X+tE_{i}}$로 매개화하면 직선의 속도벡터는 ${\displaystyle E_{i}}$이므로

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{\ell }F\cdot ds=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}F(X+tE_{i})\cdot E_{i}\,dt=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}f_{i}(X+tE_{i})dt=f_{i}(X)}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \operatorname {grad} \varphi =F}$이다.

같이 보기

• 상태 함수
• 조르당 곡선 정리
• 미분 (주요 부분)
• 고전역학