선형 생성

선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다. 고로 벡터들의 집합의 선형생성은 선형공간이다.

어떤 체 ${\displaystyle K}$에 대한 어떤 벡터공간 ${\displaystyle V}$가 주어졌을 때, 어떤 벡터들의 집합 ${\displaystyle S}$(유한집합일 필요는 없음)의 생성은 ${\displaystyle V}$의 ${\displaystyle S}$를 포함하는 모든 부분공간의 교집합 ${\displaystyle W}$로 정의된다. 이때 ${\displaystyle W}$를 ${\displaystyle S}$ 또는 ${\displaystyle S}$의 벡터들에 의해 생성된 부분공간이라 한다. 역으로 ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle W}$의 생성집합이라 불리며, 우리는 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle W}$를 생성한다고 서술한다.

달리 서술하면 ${\displaystyle S}$의 생성은 ${\displaystyle S}$의 원소들의 모든 유한선형결합의 집합으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}{\Big |}k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in \mathbf {K} }\right\}.}$

만약 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle V}$의 유한부분집합이면, ${\displaystyle S}$의 생성은 ${\displaystyle S}$의 원소들의 모든 선형결합의 집합이다. ${\displaystyle S}$가 무한집합일 경우, 무한선형결합들은 정의에 의해 배제된다.

같이 보기

• 볼록 껍질