시프트 행렬

선형대수학에서 시프트 행렬(영어: shift matrix)은 초대각선 또는 준대각선의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 상시프트 행렬(영어: upper shift matrix) ${\displaystyle U_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}$ 및 하시프트 행렬 ${\displaystyle L_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}$은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (U_{n})_{ij}=\delta _{i+1,j}={\begin{cases}1&j=i+1\\0&j\neq i+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle (L_{n})_{ij}=\delta _{i,j+1}={\begin{cases}1&i=j+1\\0&i\neq j+1\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

여기서 ${\displaystyle \delta _{ij}}$는 크로네커 델타이다. 예를 들어, ${\displaystyle 5\times 5}$ 상시프트 행렬 ${\displaystyle U_{5}}$ 및 하시프트 행렬 ${\displaystyle L_{5}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},\;L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

성질

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle m\times m}$ 상·하시프트 행렬 ${\displaystyle U_{m},L_{m}\in \operatorname {Mat} (m;K)}$의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.

${\displaystyle U_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}$

${\displaystyle U_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\\0_{1\times n}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)}$

${\displaystyle L_{m}\cdot \colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}$

${\displaystyle L_{m}\cdot \colon {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n-1}\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0_{1\times n}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (1,n;K)}$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 상·하시프트 행렬 ${\displaystyle U_{n},L_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}$의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.

${\displaystyle \cdot U_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}$

${\displaystyle \cdot U_{n}\colon {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n-1}&x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0_{m\times 1}&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)}$

${\displaystyle \cdot L_{n}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (m,n;K)}$

${\displaystyle \cdot L_{n}\colon {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n-1}&x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0_{m\times 1}\end{pmatrix}}\qquad \forall x_{1},\dots ,x_{n}\in \operatorname {Mat} (m,1;K)}$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 ${\displaystyle U_{n},L_{n}\in \operatorname {Mat} (n;K)}$은 ${\displaystyle n}$을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.

${\displaystyle U_{n}^{n}=0_{n\times n}}$

${\displaystyle L_{n}^{n}=0_{n\times n}}$

${\displaystyle U_{n}^{n-1}=E_{1n}=(\delta _{i,1}\delta _{j,n})_{i,j=1}^{n}}$

${\displaystyle L_{n}^{n-1}=E_{n1}=(\delta _{i,n}\delta _{j,1})_{i,j=1}^{n}}$

예

행렬

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}}$

이 주어졌다면,

${\displaystyle U_{5}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{5}M={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle MU_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&2\\0&1&2&2&2\\0&1&1&1&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ML_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}}$

이다.

같이 보기

• 밴드 행렬