슈라이어 세분 정리

군론에서 슈라이어 정리(영어: Schreier theorem)는 임의의 군의 두 정규 부분군의 열을 서로 ‘동치’가 되도록 세분할 수 있다는 정리이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군들의 열

${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G}$

${\displaystyle 1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G}$

이 주어졌다고 하자. 만약 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(영어: refinement)이라고 한다. 만약 ${\displaystyle m=n}$이며, 모든 ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$에 대하여 몫군 ${\displaystyle G_{i}/G_{i-1}}$와 ${\displaystyle H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}}$이 동형이 되는, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$의 순열 ${\displaystyle \sigma }$가 존재한다면, 두 열이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

슈라이어 정리에 따르면, 군 ${\displaystyle G}$의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.^{[1]:22, §I.3, Theorem 3.4}

슈라이어 정리의 증명:

군 ${\displaystyle G}$의 두 정규 부분군의 열

${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G}$

${\displaystyle 1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G}$

이 주어졌다고 하자.

${\displaystyle G_{ij}=G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})\qquad (i=1,\dots ,m,\;j=0,\dots ,n)}$

${\displaystyle H_{ij}=H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})\qquad (i=0,\dots ,m,\;j=1,\dots ,n)}$

라고 하자. 그렇다면, 나비 보조정리에 따라 각 ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$ 및 ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$에 대하여

${\displaystyle G_{i,j-1}\vartriangleleft G_{ij}}$

${\displaystyle H_{i-1,j}\vartriangleleft H_{ij}}$

이며, 다음과 같은 (${\displaystyle mn}$쌍의) 몫군의 동형이 성립한다.

${\displaystyle G_{ij}/G_{i,j-1}\cong H_{ij}/H_{i-1,j}}$

따라서, 두 열의 세분

${\displaystyle 1=G_{0}=G_{10}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{1n}=G_{1}=G_{20}\vartriangleleft G_{21}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{mn}=G}$

${\displaystyle 1=H_{0}=H_{01}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m1}=H_{1}=H_{02}\vartriangleleft H_{12}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{mn}=G}$

은 서로 동치이다.