슈바르츠 보조정리

복소해석학에서 슈바르츠 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz lemma)는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.

정의

열린 단위 원판 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C} }$ 위의 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$가 ${\displaystyle f(0)=0}$을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]

• 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여, ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$이다.
• ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$
• 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$인 ${\displaystyle 0\neq z\in \operatorname {B} (0,1)}$가 존재하거나, ${\displaystyle |f'(0)|=1}$이다.
  • 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여 ${\displaystyle f(z)=az}$이다. 여기서 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle |a|=1}$인 상수이다. (즉, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.

증명

함수 ${\displaystyle g\colon \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C} }$를 다음과 같이 정의하자.^[1]

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}f(z)/z&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}$

그렇다면, ${\displaystyle g}$는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$ 및 ${\displaystyle |z|<r<1}$에 대하여,

${\displaystyle |g(z)|\leq \sup _{|w|=r}|g(w)|\leq {\frac {1}{r}}}$

이며, 따라서

${\displaystyle |g(z)|\leq \lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{r}}=1}$

이다. 즉, ${\displaystyle z\neq 0}$일 경우 ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한 ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$이다.

만약 ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$인 ${\displaystyle 0\neq z\in \operatorname {B} (0,1)}$가 존재하거나, ${\displaystyle |f'(0)|=1}$이라면, ${\displaystyle |g|}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여 ${\displaystyle g(z)=a}$인 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$가 존재하며, ${\displaystyle |a|=1}$이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여, ${\displaystyle f(z)=az}$이다.

만약 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여 ${\displaystyle f(z)=az}$이며, ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle |a|=1}$인 상수라면, 자명하게 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여 ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$이며, 또한 ${\displaystyle |f'(0)|=1}$이다.

따름정리

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류

열린 단위 원판 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C} }$ 위의 쌍정칙 함수 ${\displaystyle f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle f(z)=a{\frac {z-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}$

여기서 ${\displaystyle a,z_{0}\in \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle |a|=1}$이며 ${\displaystyle |z_{0}|<1}$인 상수이다.

단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명

이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수 ${\displaystyle \varphi _{f(0)}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \varphi _{f(0)}(z)={\frac {z-f(0)}{1-{\overline {f(0)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}$

이는 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$ 위의 쌍정칙 함수이며, ${\displaystyle \varphi _{f(0)}(f(0))=0}$이다. 따라서,

${\displaystyle g=\varphi _{f(0)}\circ f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$

는 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$ 위의 쌍정칙 함수이며, ${\displaystyle g(0)=0}$이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,

${\displaystyle 1\leq {\frac {1}{|(g^{-1})'(0)|}}=|g'(0)|\leq 1}$

이므로, ${\displaystyle |g'(0)|=1}$이다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여 ${\displaystyle g(z)=az}$인 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$가 존재하며, ${\displaystyle |a|=1}$이다. 즉, ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여,

${\displaystyle f(z)=\varphi _{f(0)}^{-1}(g(z))=a{\frac {z+f(0)a^{-1}}{1+{\overline {f(0)}}az}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle z_{0}=-f(0)a^{-1}}$를 취하면 된다.

슈바르츠-픽 보조정리

열린 단위 원판 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)\subseteq \mathbb {C} }$ 위의 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz-Pick lemma)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 ${\displaystyle z,w\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여,

  ${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(w)}{1-{\overline {f(z)}}f(w)}}\right|\leq \left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|}$

• 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여,

  ${\displaystyle |f'(z)|\leq {\frac {1-|f(z)|^{2}}{1-|z|^{2}}}}$

• 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 ${\displaystyle z,w\in \operatorname {B} (0,1)}$이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$이 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여 ${\displaystyle f(z)=a(z-z_{0})/(1-{\overline {z_{0}}}z)}$이다. 여기서 ${\displaystyle a,z_{0}\in \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle |a|=1}$이고 ${\displaystyle |z_{0}|<1}$인 상수이다. (즉, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$ 위의 쌍정칙 함수이다.)

이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리

${\displaystyle d(z,w)=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|}$

를 증가시키지 않는다.

슈바르츠-픽 보조정리의 증명

임의의 ${\displaystyle w\in \operatorname {B} (0,1)}$를 취하고, 다음과 같은 함수 ${\displaystyle \varphi _{w},\varphi _{f(w)}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$을 정의하자.

${\displaystyle \varphi _{w}(z)={\frac {z-w}{1-{\bar {w}}z}}}$

${\displaystyle \varphi _{f(w)}(z)={\frac {z-f(w)}{1-{\overline {f(w)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}$

이들은 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$ 위의 쌍정칙 함수이며, ${\displaystyle \varphi _{w}(w)=\varphi _{f(w)}(f(w))=0}$이므로,

${\displaystyle g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}$

는 정칙 함수이며, ${\displaystyle g(0)=0}$이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$에 대하여,

${\displaystyle |g(\varphi _{w}(z))|\leq |\varphi _{w}(z)|}$

${\displaystyle |g'(0)|\leq 1}$

이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는 ${\displaystyle z,w\in \operatorname {B} (0,1)}$이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는 ${\displaystyle z\in \operatorname {B} (0,1)}$이 존재하는 것은

${\displaystyle g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}}$

가 ${\displaystyle \operatorname {B} (0,1)}$ 위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는 ${\displaystyle f}$가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.

역사

독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.

같이 보기

• 보렐-카라테오도리 정리