스테인하우스-모서 표기법

수학에서 스테인하우스-모서 표기법(영어: Steinhaus–Moser notation)은 특정한 매우 큰 수를 표현하는 표기법으로, 스테인하우스의 다각형 표기법의 확장판이다.

정의

삼각형 안에 n을 쓴 수는 nⁿ을 의미한다.

사각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.

오각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.

etc.: (m + 1)각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 m각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. 다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, associated inward이다. 삼각형 두 개 안에 n을 쓴 것은 삼각형 안에 nⁿ을 쓴 것과 같고, nⁿ의 nⁿ제곱과 같다.

스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한 원 만을 정의했다.

특수값

스테인하우스는 다음을 정의했다:

• mega는 원 안에 2를 쓴 수이다: ②
• megiston은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩

모서 수(영어: Moser's number)는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, megagon은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형(영어: megagon)과 혼동해서는 안된다.

다른 표기법:

• 함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다
• M(n, m, p)를 중첩된 p각형 m개 안에 n을 쓴 수를 의미한다. 즉, 규칙은 다음과 같다:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• 그리고
  • mega = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • megiston = ${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • moser = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Mega

mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2²)) = square(triangle(4)) = square(4⁴) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 triangles] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255 triangles] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10⁶¹⁶)...))) [254 triangles] = ...

다른 표기법을 사용하면:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수 ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$를 사용하면 mega = ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$이고, 이 때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 함수의 거듭제곱을 의미한다.

우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라):

• M(256,2,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• M(256,3,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

유사하게:

• M(256,4,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• M(256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

etc.

따라서:

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$이고, 이 때 ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$는 함수 ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$의 함수 거듭제곱을 의미한다.

더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), 커누스 윗화살표 표기법으로 mega ≈ ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$을 얻을 수 있다.

처음 몇 단계 이후 ${\displaystyle n^{n}}$의 값은 근사적으로 ${\displaystyle 256^{n}}$과 같아진다. 사실은 ${\displaystyle 10^{n}}$과도 같아진다 (매우 큰 수에 대한 근사적 산술을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$ (${\displaystyle \log _{10}616}$을 616에 더한 값이다)
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$ (${\displaystyle 619}$가 ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$에 더해졌지만 무시할 수 있기 때문에 단순히 아래에 10이 더 생겼다)
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$, 이 때 ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$는 함수 ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$의 함수적 거듭제곱을 의미한다. 따라서 ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$이다.

모서 수

모서 수는 그 크기가 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 증명되었다.

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2}$

그리고 커누스 윗화살표 표기법으로도 증명되었다.

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3}$

따라서 모서 수는 이해하기 어려울 정도로 크지만 그레이엄 수에 비해서는 없는 것이나 마찬가지로 작다:

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

같이 보기

• 아커만 함수

외부 링크

• Robert Munafo's Large Numbers
• Factoid on Big Numbers
• Megistron at mathworld.wolfram.com (Note that Steinhaus referred to this number as "megiston" with no "r".)
• Circle notation at mathworld.wolfram.com