스테인하우스 정리

실해석학에서, 스테인하우스 정리(영어: Steinhaus’ theorem)는 양의 르베그 측도를 갖는 실수 집합 속 두 점의 차가 0의 열린 근방을 포함한다는 정리이다.

정의

(왼쪽 하르 측도 ${\displaystyle \mu }$를 갖춘) 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 ${\displaystyle G}$가 주어졌다고 하자. 스테인하우스 정리에 따르면, 임의의 양의 측도의 가측 집합

${\displaystyle A\subset G}$

${\displaystyle \mu (A)>0}$

에 대하여,

${\displaystyle AA^{-1}=\{ab^{-1}\colon a,b\in A\}}$

는 항등원 ${\displaystyle 1_{G}\in G}$의 근방이다.^[1] 즉, ${\displaystyle 1_{G}\in U\subset AA^{-1}}$인 열린집합 ${\displaystyle U\subset G}$가 존재한다.

증명:

편의상 ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$가 (르베그 측도 ${\displaystyle \mu }$를 갖춘) 실수선이라고 하자. ${\displaystyle A}$가 양의 측도의 콤팩트 부분 집합을 가지므로, 편의상 ${\displaystyle A}$가 콤팩트 집합이라고 가정할 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle U\supset A}$

${\displaystyle \mu (U)<2\mu (A)}$

인 열린집합 ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} }$가 존재한다. 또한, ${\displaystyle A}$가 콤팩트 집합이므로,

${\displaystyle V+A\subset U}$

인 0의 열린 근방 ${\displaystyle V\ni 0}$이 존재한다. 이제,

${\displaystyle V\subset A-A}$

를 보이는 것으로 충분하다. 즉,

${\displaystyle (v+A)\cap A\neq \varnothing \qquad \forall v\in V}$

을 보이면 충분하다. 임의의 ${\displaystyle v\in V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle 2\mu (A)>\mu (U)\geq \mu ((v+A)\cup A)=\mu (v+A)+\mu (A)-\mu ((v+A)\cap A)=2\mu (A)-\mu ((v+A)\cap A)}$

이므로

${\displaystyle \mu ((v+A)\cap A)>0}$

이다. 따라서 위 조건이 성립한다.

역사

후고 스테인하우스가 (르베그 측도를 갖춘) 실수선의 경우를 증명하였다. 한스 아돌프 라데마허(독일어: Hans Adolph Rademacher)가 (르베그 측도를 갖춘) 유클리드 공간의 경우를 증명하였다.