스튜어트 정리

기하학에서 스튜어트 정리(-定理, 영어: Stewart's theorem)는 삼각형의 세 변과 체바 선분의 길이 사이에 성립하는 등식이다.

정의

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변의 길이를 각각 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$라고 하고, 꼭짓점 ${\displaystyle A}$를 지나는 체바 선분 ${\displaystyle AX}$의 길이를 ${\displaystyle d}$라고 하고, 이로 나눠진 변 ${\displaystyle BC}$의 두 부분 ${\displaystyle BX}$와 ${\displaystyle CX}$의 길이를 각각 ${\displaystyle m}$과 ${\displaystyle n}$이라고 하자. 스튜어트 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{[1]:70, §2D, Theorem 2.20}

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)}$

특히 ${\displaystyle m=n}$일 경우 체바 선분 ${\displaystyle AX}$는 중선이 되고, 스튜어트 정리는 아폴로니우스 정리가 된다.

증명

삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 ${\displaystyle AXC}$에 코사인 법칙을 적용하면^{[1]:70, §2D}

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}$

${\displaystyle d^{2}=b^{2}+n^{2}-2bn\cos C}$

를 얻는다. 두 등식에서 ${\displaystyle \cos C}$를 소거하면

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}n-ad^{2}&=n(a^{2}+b^{2})-a(b^{2}+n^{2})\\&=an(a-n)-b^{2}(a-n)\\&=amn-b^{2}m\end{aligned}}}$

를 얻으며, 이를 정리하면 된다 라고 한다

역사

스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 땄다.