스핀C 군

리 군론에서 스핀C 군(spin C群, 영어: spin^c group)은 스핀 군과 원군의 뒤틀린 곱인 리 군이다. 미분기하학에서 스핀C 다양체를 정의할 때 쓰인다.

정의

자연수 ${\displaystyle n}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle n}$차 스핀C 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin^{c}} (n)}$은 다음 짧은 완전열로 정의된다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\kappa \times \iota }{\hookrightarrow }}\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin^{c}} (n)\to 1}$.

여기서 ${\displaystyle \kappa \times \iota }$는 다음 두 군 준동형의 대각 사상이다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\kappa }{\hookrightarrow }}\operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)\to 1}$

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {U} (1)\to 1}$

성질

스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족시킨다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\hookrightarrow \operatorname {Spin^{c}} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1}$.

즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\!\!\!\!\!\!\\&\swarrow &\downarrow &\searrow \\\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\operatorname {Spin^{c}} (n)&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\\&\searrow &\downarrow &\swarrow \\&&\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\end{matrix}}}$

여기서 각 군 준동형의 핵은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$이다.

위상수학적 성질

${\displaystyle n}$차 스핀C 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin^{c}} (n)}$은 ${\displaystyle n(n-1)/2+1}$차원 연결 콤팩트 리 군이다. ${\displaystyle n\geq 3}$, ${\displaystyle n\neq 4}$일 때, 낮은 차수의 호모토피 군은

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong 0}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \pi _{2}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong 0}$

${\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong \mathbb {Z} }$

이다. (${\displaystyle n=4}$일 때는 ${\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin^{c}} (4))\cong \mathbb {Z} ^{2}}$이다.)

리 대수

스핀C 군에 대응되는 리 대수는 단순히

${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(\operatorname {Spin^{c}} (n))={\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$

이다.

표현

${\displaystyle n}$차원 스핀 군의 디랙 스피너 표현 ${\displaystyle V}$를 생각하자. 이는 복소수 ${\displaystyle 2^{\lfloor n/2\rfloor }}$차원 유니터리 표현이다. 즉, 이는 단사 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (V)}$

을 정의한다. 그런데 또한 군의 중심

${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {Z} (\operatorname {U} (V))\hookrightarrow \operatorname {U} (V)}$

을 생각할 수 있으며, 이는 부분군

${\displaystyle \operatorname {Spin^{c}} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (V)}$

를 정의한다. (직관적으로, 스피너는 360도 회전하면 −1이 곱해지게 된다.)

외부 링크

• “spin^c”. 《nLab》 (영어).