실베스터 방정식

제어이론에서 실베스터 방정식(Sylvester方程式, 영어:Sylvester Equation)은 다음과 같은 형태의 행렬 방정식을 말한다.^[1]

${\displaystyle AX+XB=C.}$

A,B, 그리고 C는 주어진 행렬이고, 문제는 이 방정식을 따르는 행렬 X를 구하는 것이다. 모든 행렬은 복소수에서 계수를 가질 수 있다고 한다. 방정식이 성립하기 위하여, 행렬은 반드시 적절한 사이즈를 가져야 한다. 예를 들면 모든 행렬이 같은 크기의 정사각행렬이 되도록 하거나 말이다. 하지만 좀 더 일반적으로, 우리는 A와 B를 각각 n과 m 사이즈의 정사각행렬을 취하며, X와 C는 둘 다 n행 m열의 행렬을 취한다.

실베스터 방정식은 A와 -B가 공통된 고유값을 갖지 않을 때 X는 정확히 하나의 해를 가진다. 더 일반적으로는, AX+XB=C (아마도 무한한 차원의)바나흐 공간에서의 유계 작용소의 방정식으로 간주된다. 이 경우에는, X가 유일하게 존재하기 위한 조건은 ‘A와 -B의 스펙트럼이 서로소 집합일 때’로 거의 같다.^[2]

해의 존재와 유일성

Roth의 제거 법칙

수치적 해

같이 보기

• 랴푸노프 방정식
• 대수적 리카티 방정식