심플렉틱 용량

심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 용량(symplectic容量, 영어: symplectic capacity)은 심플렉틱 다양체의 2차원 "넓이"를 측정하는 방법이다. 그로모프 조임 불가능성 정리(Громов조임不可能性定理, 영어: Gromov non-squeezing theorem)에 따라, 심플렉틱 용량이 존재한다.

정의

${\displaystyle 2n}$ 차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Sympl} _{n}}$이라고 쓰자. 심플렉틱 용량은 다음 조건들을 만족시키는 함수

${\displaystyle c\colon \operatorname {Sympl} _{n}\to [0,\infty ]}$

이다.

• (단조성) 만약 심플렉틱 매장 ${\displaystyle \iota \colon U\to V}$가 존재한다면, ${\displaystyle c(U)\leq c(V)}$
• (동차성) 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$ 및 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (U,\omega )}$에 대하여, ${\displaystyle c(U,\lambda \omega )=\lambda ^{2}c(U,\omega )}$
• (규격화) ${\displaystyle c(\mathbb {B} ^{2n}(r))=c(\mathbb {B} ^{2}(r)\times \mathbb {R} ^{2n-2})=\pi r^{2}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {B} ^{2n}(r)}$는 ${\displaystyle 2r}$차원의, 반지름이 ${\displaystyle r}$인 공 ${\displaystyle \mathbb {B} ^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

성질

다음과 같은 두 함수를 정의하자.

${\displaystyle c_{\min }(M)=\sup\{r\colon \exists \iota \colon \mathbb {B} ^{2n}(r)\hookrightarrow M\}}$

${\displaystyle c_{\max }(M)=\inf\{r\colon \exists \iota \colon M\hookrightarrow \mathbb {B} ^{2}(r)\times \mathbb {R} ^{2n-2}\}}$

그로모프 조임 불가능성 정리에 따르면, ${\displaystyle c_{\min }}$과 ${\displaystyle c_{\max }}$는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 만약 심플렉틱 매장

${\displaystyle \mathbb {B} ^{2n}(r)\hookrightarrow \mathbb {B} ^{2}(R)\times \mathbb {R} ^{2n-2}}$

이 존재하는 필요충분조건은 ${\displaystyle r\leq R}$이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 ${\displaystyle c}$에 대하여,

${\displaystyle c_{\min }(M)\leq c(M)\leq c_{\max }(M)}$

이 성립한다.

역사

미하일 그로모프가 1985년에 유사 정칙 곡선을 사용하여 그로모프 조임 불가능성 정리를 증명하였다.^[1]