올대상

모형 범주의 이론에서, 올대상(對象, 영어: fibrant object)은 끝 대상으로의 유일한 사상이 쌍대올뭉치를 이루는, 모형 범주 속의 대상이다. 마찬가지로 쌍대올대상(雙對-對象, 영어: fibrant object)은 시작 대상으로의 유일한 사상이 올뭉치를 이루는 모형 범주 속의 대상이다.

정의

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 시작 대상을 ${\displaystyle \varnothing }$, 끝 대상을 ${\displaystyle \bullet }$이라고 하자. 그렇다면, 다음을 정의한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 올대상(영어: fibrant object)은 유일한 사상 ${\displaystyle X\to \bullet }$이 올뭉치인 대상 ${\displaystyle X}$이다.^{[1]:277, Definition 14.2.7}
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 쌍대올대상(영어: cofibrant object)은 유일한 사상 ${\displaystyle \varnothing \to X}$가 쌍대올뭉치인 대상 ${\displaystyle X}$이다.^{[1]:277, Definition 14.2.7}
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 쌍올대상(雙-對象, 영어: bifibrant object)은 올대상이자 쌍대올대상인 대상이다.^{[1]:278, Definition 14.2.7}

올대상 분해

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$의 올대상 분해(영어: fibrant resolution)는 다음과 같다.^{[1]:277, Definition 14.2.7}

${\displaystyle X{\xrightarrow {\simeq }}{\hat {X}}\twoheadrightarrow \bullet }$

여기서 ${\displaystyle {\xrightarrow {\simeq }}}$는 호모토피 동치이며, ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$는 올뭉치이며, ${\displaystyle \bullet }$은 끝 대상이다. 즉, ${\displaystyle {\hat {X}}}$는 올대상이다. 만약 ${\displaystyle {\xrightarrow {\simeq }}}$가 추가로 쌍대올뭉치라면, 이를 좋은 올대상 분해(영어: good fibrant resolution)라고 한다.

모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$의 쌍대올대상 분해(영어: cofibrant resolution)는 다음과 같다.^{[1]:277, Definition 14.2.7}

${\displaystyle \varnothing \hookrightarrow {\hat {X}}{\xrightarrow {\simeq }}X}$

여기서 ${\displaystyle {\xrightarrow {\simeq }}}$는 호모토피 동치이며, ${\displaystyle \hookrightarrow }$는 쌍대올뭉치이며, ${\displaystyle \varnothing }$은 시작 대상이다. 즉, ${\displaystyle {\hat {X}}}$는 올대상이다. 만약 ${\displaystyle {\xrightarrow {\simeq }}}$가 추가로 올뭉치라면, 이를 좋은 쌍대올대상 분해(영어: good cofibrant resolution)라고 한다.

성질

모형 범주의 정의에 따라, 모든 대상은 좋은 올대상 분해 및 좋은 쌍대올대상 분해를 갖는다.

예

단체 집합의 모형 범주에서 올뭉치는 칸 올뭉치(영어: Kan fibration)이며, 올대상은 칸 복합체(영어: Kan complex)라고 한다.

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주에서 CW 복합체는 쌍대올대상이다. 이에 따라, 모든 위상 공간은 CW 복합체와의 약한 호모토피 동치를 갖는다.