서로소 아이디얼

수론과 환론에서 서로소(-素, 영어: coprime integers, coprime, relatively prime, mutually prime)는 정수나 다항식들끼리의 최대 공약수가 1이라는 뜻의 표현이다.^[1] 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며,^[2] 서로소인 다항식들의 공약수는 0차 다항식뿐이다. 서로소의 개념은 아이디얼의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다.

정의

정수의 경우

정수 ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}}$가 ${\displaystyle \gcd\{n_{1},\dots ,n_{k}\}=1}$을 만족시키면, 이들이 서로소라고 한다. 특히 두 정수 ${\displaystyle m,n}$의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다.

정수 ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}}$가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 쌍마다 서로소(雙-素, 영어: pairwise coprime)라고 한다.

• 모든 서로 다른 두 정수의 쌍 ${\displaystyle n_{i}\neq n_{j}}$은 서로소이다.

쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다.

다항식의 경우

체 ${\displaystyle K}$ 위의 다항식 ${\displaystyle p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)\in K[x]}$의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

환의 원소의 경우

정역 ${\displaystyle R}$의 원소 ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}\in R}$의 최대 공약수가 가역원(즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

아이디얼의 경우

환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\dots ,{\mathfrak {a}}_{k}\subset R}$가 다음 조건을 만족시키면, 서로소라고 한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}+\cdots +{\mathfrak {a}}_{k}=R}$. 즉, ${\displaystyle r_{1}+\cdots +r_{k}=1_{R}}$인 ${\displaystyle r_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}}$가 존재한다.

특히, 두 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset R}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R}$를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 쌍마다 서로소라고 한다.

성질

베주 항등식

 이 부분의 본문은 베주 항등식입니다.

두 정수 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle m,n}$은 서로소이다.
• ${\displaystyle m,n}$은 공통의 소인수를 갖지 않는다.
• (베주 항등식) ${\displaystyle um+vn=1}$인 정수 ${\displaystyle u,v}$가 존재한다.
• ${\displaystyle (m),(n)\subset \mathbb {Z} }$는 서로소이다.

두 다항식 ${\displaystyle p(x),q(x)\in K[x]}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle p(x),q(x)}$는 서로소이다.
• ${\displaystyle p(x),q(x)}$는 공통의 기약 다항식 약수를 갖지 않는다.
• (베주 항등식) ${\displaystyle u(x)p(x)+v(x)q(x)=1}$인 ${\displaystyle u(x),v(x)\in K[x]}$가 존재한다.
• ${\displaystyle (p(x)),(q(x))\subset K[x]}$는 서로소이다.

보다 일반적으로, 환 ${\displaystyle R}$ 및 그 두 원소 ${\displaystyle a,b\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle R}$가 유일 인수 분해 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a,b}$는 서로소이다.
• ${\displaystyle a,b}$는 공통의 소원 약수를 갖지 않는다.

만약 ${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a,b}$는 서로소이다.
• (베주 항등식) ${\displaystyle ua+vb=1_{R}}$인 ${\displaystyle u,v\in R}$가 존재한다.
• ${\displaystyle (a),(b)\subset R}$는 서로소이다.

중국인의 나머지 정리

 이 부분의 본문은 중국인의 나머지 정리입니다.

유사환의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 중국인의 나머지 정리가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다.

확률론적 성질

두 정수가 서로소일 확률은

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}=0.607927101854026628663276\dots }$

이다.

증명:

소수 ${\displaystyle p}$가 어떤 정수를 나눌 확률은 ${\displaystyle 1/p}$이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 ${\displaystyle 1/p^{2}}$이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)={\frac {1}{\displaystyle {\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-2}}}}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {P} }$는 소수의 집합, ${\displaystyle \zeta }$는 리만 제타 함수이다.

같이 보기

• 기약분수