쌍선형 형식

선형대수학에서 쌍선형 형식(雙線型形式, 문화어: 쌍1차형식^[1], 영어: bilinear form)은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값 함수이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$는 다음과 같은 가군 준동형이다.^{[2]:235[3]:54, (3.13)}

${\displaystyle B\colon V\otimes V\to K}$

여기서 ${\displaystyle \otimes }$는 ${\displaystyle K}$-가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$이다.

• (왼쪽 선형성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$, ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)}$
• (오른쪽 선형성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$, ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)}$

가환환 ${\displaystyle K}$가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

${\displaystyle {\bar {\quad }}\colon K\to K}$

${\displaystyle {\bar {\quad }}\circ {\bar {\quad }}=\operatorname {id} _{K}}$

${\displaystyle {\bar {}}}$에 대한 반쌍선형 형식(半雙線型形式, 영어: sesquilinear form) ${\displaystyle B}$는 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$이다.

• (왼쪽 반선형성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$, ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle B(au+bv,w)={\bar {a}}B(u,w)+{\bar {b}}B(v,w)}$
• (오른쪽 선형성) 임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$, ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)}$

일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 ${\displaystyle {\bar {\quad }}}$가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

대칭 형식

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 대칭 쌍선형 형식(對稱雙線型形式, 영어: symmetric bilinear form)이라고 한다.^{[2]:235[3]:54, (3.13)}

${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\qquad \forall u,v\in V}$

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 반대칭 쌍선형 형식(反對稱雙線型形式, 영어: antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form)이라고 한다.^{[3]:54, (3.13)}

${\displaystyle B(u,v)=-B(v,u)\qquad \forall u,v\in V}$

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 교대 쌍선형 형식(交代雙線型形式, 영어: alternating bilinear form)이라고 한다.^{[2]:235[3]:54, (3.13)}

${\displaystyle B(v,v)=0\qquad \forall v\in V}$

${\displaystyle K}$가 체라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

• ${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
• ${\displaystyle K}$가 표수가 2인 체인 경우: 교대 형식 ${\displaystyle \subsetneq }$ 반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 ${\displaystyle {\bar {\quad }}}$를 갖는 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 반쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 에르미트 반쌍선형 형식(Hermite半雙線型形式, 영어: Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

${\displaystyle B(u,v)={\overline {B(v,u)}}\qquad \forall u,v\in V}$

이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 반에르미트 반쌍선형 형식(反Hermite半雙線型形式, 영어: anti-Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

${\displaystyle B(u,v)=-{\overline {B(v,u)}}\qquad \forall u,v\in V}$

만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. 교대 반쌍선형 형식(交代半雙線型形式, 영어: alternating sesquilinear form)의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

비퇴화 형식

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$의 왼쪽 근기(영어: left radical)와 오른쪽 근기(영어: right radical)는 각각 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {rad_{L}} B=\ker(v\mapsto B(v,-))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(v,u)=0\}}$

${\displaystyle \operatorname {rad_{R}} B=\ker(v\mapsto B(-,v))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}}$

대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 ${\displaystyle B}$의 근기(영어: radical) ${\displaystyle \operatorname {rad} B}$라고 한다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$의 근기가 ${\displaystyle \{0\}}$이라면, ${\displaystyle B}$를 비퇴화 쌍선형 형식(非退化雙線型形式, 영어: nondegenerate bilinear form)이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \forall v\colon \left(\forall w\colon B(v,w)=0\right)\implies v=0}$

이 경우, ${\displaystyle B}$를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

${\displaystyle i\colon V\to V^{*}}$

${\displaystyle v\mapsto B(v,-)}$

이 주어진다. (만약 ${\displaystyle B}$가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, ${\displaystyle B}$가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 ${\displaystyle V}$는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$에 대응하는 이차 형식(영어: associated quadratic form) ${\displaystyle Q_{B}}$은 다음과 같은 이차 형식이다.

${\displaystyle Q_{B}\colon V\to K}$

${\displaystyle Q_{B}\colon v\mapsto B(v,v)}$

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 ${\displaystyle K}$의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

홀수 표수

${\displaystyle K}$의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle B}$를 대칭 성분과 반대칭 성분

${\displaystyle B^{+}(u,v)={\frac {1}{2}}\left(B(u,v)+B(v,u)\right)}$

${\displaystyle B^{-}(u,v)={\frac {1}{2}}\left(B(u,v)-B(v,u)\right)}$

으로 분해할 수 있으며, ${\displaystyle B}$에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 ${\displaystyle B^{+}}$에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 ${\displaystyle Q}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

${\displaystyle B(u,v)={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$

그렇다면 ${\displaystyle Q}$는 ${\displaystyle B}$에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

짝수 표수

${\displaystyle K}$의 표수가 2인 경우, ${\displaystyle 1/2}$를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 ${\displaystyle V}$가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, ${\displaystyle V}$가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

예

이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식

2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.

${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B(x,y;x',y')=axx'+{\frac {1}{2}}b(x'y+xy')+cyy'={\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}}$

만약 표수가 2인 경우, ${\displaystyle b/2}$를 정의할 수 없다. 만약 ${\displaystyle b\neq 0}$이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식

표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.

${\displaystyle B(x,y;x',y')=xx'}$

이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,

${\displaystyle B(1,0;1,0)=1}$

이므로 교대 형식이 아니다.