아딘크라 (물리학)

물리학에서 아딘크라(영어: adinkra)는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.^[1][2]

정의

자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle n}$차원 아딘크라(영어: ${\displaystyle n}$-dimensional adinkra)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle \Gamma }$는 유한 연결 ${\displaystyle n}$차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
• ${\displaystyle \Gamma }$ 위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 ${\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}$라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, ${\displaystyle \Gamma }$는 이분 그래프이어야 한다.
• 또한, ${\displaystyle \Gamma }$의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 계수(영어: rank)라고 하자.
• ${\displaystyle \Gamma }$ 위에는 ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$에 대한 변 색칠이 주어져 있다.
• 또한, ${\displaystyle \Gamma }$의 각 변에는 부호 ${\displaystyle \{+,-\}}$가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.)

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다.
• 각 꼭짓점에 닿은 ${\displaystyle n}$개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
• 임의의 두 정수 ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$에 대하여, ${\displaystyle i}$ 또는 ${\displaystyle j}$가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 ${\displaystyle -}$인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.

아딘크라의 동형

두 ${\displaystyle n}$차원 아딘크라 ${\displaystyle \Gamma }$, ${\displaystyle \Gamma '}$가 주어졌다고 하자. 또한, 각 ${\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}$ 및 각 계수 ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$에 대하여, ${\displaystyle \Gamma }$ 속의 ${\displaystyle (\sigma ,h)}$-꼭짓점의 수는 ${\displaystyle \Gamma '}$ 속의 ${\displaystyle (\sigma ,h)}$-꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma )}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ')}$로 표기하자.

이 두 아딘크라 사이의 C-동형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[1]:§7.2

• 각 ${\displaystyle \sigma \in \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}$ 및 각 계수 ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$에 대하여, 전단사 함수 ${\displaystyle f\operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)\to \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ')}$
• 각 ${\displaystyle v\in \operatorname {V} _{\sigma ,h}(\Gamma ,\sigma ,h)}$에 대하여, 부호 ${\displaystyle s(v)\in \{\pm 1\}}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (색의 보존) 각 변 ${\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}$에 대하여, ${\displaystyle (u,v)}$의 색 ${\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}}$은 ${\displaystyle (f(u),f(v))}$의 색과 같다.
• (부호의 보존) 임의의 변 ${\displaystyle (u,v)\in \operatorname {E} (\Gamma )}$의 부호가 ${\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}}$이라고 할 때, ${\displaystyle (f(u),f(v))\in \operatorname {E} (\Gamma ')}$의 부호는 ${\displaystyle s(u)s(v)\sigma }$이다.

이 데이터는 성분이 ${\displaystyle \{0,-1,+1\}}$에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 동형의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.^[1]:§7.2

아딘크라의 크로모토폴로지(영어: chromotopology)는 아딘크라의 정의에서

• 꼭짓점에 칠해진 색깔 ${\displaystyle \{{\mathsf {B}},{\mathsf {F}}\}}$
• 변에 주어진 부호 ${\displaystyle \{\pm \}}$
• 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서)

를 잊고, 대신

• 그래프 구조
• 변의 색깔 ${\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}$

만을 남긴 구조이다.

성질

초대칭 표현과의 관계

생성원 ${\displaystyle (H,Q_{1},\dotsc ,Q_{n})}$을 갖는 초대칭 대수

${\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}=2\delta _{ij}H}$

${\displaystyle [Q_{i},H]=0}$

를 생각하자. 이는 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}$을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 [시간]⁻¹이며, 따라서 초대칭 연산자 ${\displaystyle Q_{i}}$의 단위는 [시간]^−½이다.

이 경우, 아딘크라 ${\displaystyle \Gamma }$가 주어졌을 때,

${\displaystyle V=\bigoplus _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}V_{v}}$

${\displaystyle V_{v}\cong {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 ${\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}$의 표현을 생각하자.

${\displaystyle H=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$

변

${\displaystyle {\underset {u}{\bullet }}\;{\overset {i,\sigma }{-\!\!\!-\!\!\!-}}\;{\underset {v}{\bullet }}}$

${\displaystyle \operatorname {rank} u=\operatorname {rank} v-1=h}$

${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}$

${\displaystyle \sigma \in \{\pm 1\}}$

에 대하여, 만약 ${\displaystyle u}$가 보손이며 ${\displaystyle v}$가 페르미온이라면,

${\displaystyle Q_{i}\phi _{u}=\sigma \phi _{v}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle Q_{i}\phi _{v}=\sigma \mathrm {i} {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{u}\qquad (\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}$

만약 ${\displaystyle u}$가 페르미온이며 ${\displaystyle v}$가 보손이라면,

${\displaystyle Q_{i}\psi _{u}=\sigma \mathrm {i} \psi _{v}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle Q_{i}\psi _{v}=\sigma {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\psi _{u}\qquad (\psi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ))}$

이를 아딘크라 ${\displaystyle \Gamma }$에 대응하는 초대칭 표현이라고 한다.

아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다.

아딘크라	초다중항
${\displaystyle {\mathsf {B}}}$가 붙은 꼭짓점	보손 장
${\displaystyle {\mathsf {F}}}$가 붙은 꼭짓점	페르미온 장
변	초대칭의 작용
변에 붙은 숫자 ${\displaystyle \in \{1,\dotsc ,n\}}$	작용하는 초대칭 연산자 ${\displaystyle Q_{1},\dotsc ,Q_{n}}$
변에 붙은 부호 ${\displaystyle \in \{+,-\}}$	초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 (${\displaystyle Q_{i}\colon \phi \mapsto \pm \psi }$)
꼭짓점의 계수	장의 단위 ([시간]−k/2에서의 k)

이와 같이 ${\displaystyle n}$차원 아딘크라로 표시될 수 있는 ${\displaystyle {\mathfrak {po}}(1|n)}$의 표현을 아딘크라 표현(adinkra表現, 영어: adinkraic representation)이라고 한다.

리만 곡면

모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.^[3]

구체적으로, ${\displaystyle N}$차원 아딘크라와, 이 ${\displaystyle N}$개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 무지개(영어: rainbow)라고 하기도 한다.) 그렇다면,

• 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다.
• 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.
• 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$-대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다.
• 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다.

이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.

아딘크라	기하학
크로모토폴로지 (그래프 + 변 색칠) + 변의 색 위의 전순서	리만 곡면 및 리만 구 위의 분지 피복
변에 붙은 부호 ${\displaystyle \pm }$(의 동치류)	리만 곡면 위의 스핀 구조
꼭짓점의 계수	리만 곡면 위의 인자

분류

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$ 속의 선형 부호 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {F} _{2}^{n}}$가운데, 만약 모든 원소 ${\displaystyle c\in C}$에 대하여 ${\displaystyle 4\mid \operatorname {d_{H}} (c,0)}$라면, ${\displaystyle C}$를 겹짝 선형 부호(영어: doubly even linear code)라고 한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {d_{H}} }$는 해밍 거리이다.)

(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 ${\displaystyle n}$차원 크로모토폴로지는 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}/C}$의 꼴의 그래프로 나타내어진다.^{[1]:Theorem 4.5} 여기서 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$은 초입방체 크로모토폴로지이며, ${\displaystyle C}$는 겹짝 선형 부호이다.

예

간단한 예

2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.

　　Ｂ
 ¹／　＼²
Ｆ　　　Ｆ
 ₂＼　／₁
　　Ｂ

여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다).

이는 초다중항

${\displaystyle (\phi ,\psi ,\chi ,A)}$

${\displaystyle Q_{1}\phi =\psi }$

${\displaystyle Q_{2}\phi =\chi }$

${\displaystyle Q_{1}\chi =-Q_{2}\psi =A}$

${\displaystyle Q_{1}\psi =Q_{2}\chi =H\phi }$

${\displaystyle Q_{1}A=H\chi }$

${\displaystyle Q_{2}A=-H\psi }$

을 나타낸다.

1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.

Ｆ
｜1
Ｂ

이는 초다중항

${\displaystyle (\phi ,\psi )}$

${\displaystyle Q_{1}\phi =-\psi }$

${\displaystyle Q_{1}\psi =-H\phi }$

를 나타낸다.

초입방체 크로모토폴로지

보다 일반적으로, 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle n}$차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$으로 생각할 수 있다.

이 경우, 각 변에 색

${\displaystyle c\left((s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{i-1},0,s_{i+1},\dotsc ,s_{n}),(s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{i-1},1,s_{i+1},\dotsc ,s_{n})\right)=i}$

를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 초입방체 크로모토폴로지(超立方體chromotopology, 영어: hypercube chromotopology)라고 한다.^[1]:§4

초입방체가 아닌 크로모토폴로지

초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다.

${\displaystyle \{(0,0,0,0),(1,1,1,1)\}\subseteq \mathbb {F} _{2}^{\oplus 4}}$

즉, 다음과 같은 꼴이다.^{[1]:Figure 5} (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)

 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´

즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.

역사

아샨티족의 아딘크라 문양

2004년에 마이클 폭스(영어: Michael Faux)와 실베스터 제임스 게이츠 2세(영어: Sylvester James Gates, Jr.)가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다.^[2] “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라(아칸어: adinkra)에서 유래하였다.

같이 보기

• 파인만 도형