동등 연속 함수족

해석학에서 동등 연속 함수족(同等連續函數族, 영어: equicontinuous family of functions)은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.

정의

동등 연속 함수족

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$
• ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로 가는 함수족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle x\in X}$

임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방 ${\displaystyle U\ni x}$가 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 ${\displaystyle x}$에서 동등 연속 함수족(영어: family of functions equicontinuous at ${\displaystyle x}$)이라고 한다.^{[1]:TG X.10, Définition X.2.1}

• 임의의 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ 및 ${\displaystyle x'\in U}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x')}$

모든 점에서 동등 연속인 함수족을 동등 연속 함수족이라고 한다.

균등 동등 연속 함수족

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})}$
• 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$
• ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로 가는 함수족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 측근 ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}$가 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 균등 동등 연속 함수족(均等同等連續函數族, 영어: uniformly equicontinuous family of functions)이라고 한다.^{[1]:TG X.11, Définition X.2.2}

• 임의의 ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ 및 ${\displaystyle x,x'\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\approx _{\delta }x'}$이라면 ${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x')}$이다.

여기서 ${\displaystyle x\approx _{\delta }x_{0}}$는 ${\displaystyle (x,x_{0})\in \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}$인 것이다. 만약 ${\displaystyle X}$의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는 ${\displaystyle \delta }$를 어떤 양의 실수로 생각하며, ${\displaystyle d_{X}(x,x_{0})<\delta }$로 해석해도 좋다. (${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})}$ 또한 마찬가지다.)

성질

함의 관계

두 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})}$, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$ 사이의 함수족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다.

개념	${\displaystyle \delta }$가 ${\displaystyle \epsilon }$에 의존?	${\displaystyle \delta }$가 ${\displaystyle f}$에 의존?	${\displaystyle \delta }$가 ${\displaystyle x}$에 의존?	정의
연속 함수족	예	예	예	${\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X}\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}$
균등 연속 함수족	예	예	아니오	${\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}\forall f\in {\mathcal {F}}{\color {White}\forall x\in X}\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}}\forall x\in X\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}$
동등 연속 함수족	예	아니오	예	${\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}}\forall x\in X\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}\forall f\in {\mathcal {F}}{\color {White}\forall x\in X}\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}$
균등 동등 연속 함수족	예	아니오	아니오	${\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X}\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}$

여기서

• 연속 함수족(영어: family of continuous functions)은 단순히 (균등 공간 위상에 대하여) 모든 원소가 연속 함수인 함수족이다.
• 균등 연속 함수족(영어: family of uniformly continuous functions)은 단순히 모든 원소가 균등 연속 함수인 함수족이다.

그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

균등 동등 연속 함수족	⇒	동등 연속 함수족
⇓		⇓
균등 연속 함수족	⇒	연속 함수족

아르첼라-아스콜리 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$
• 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$
• 연속 함수족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$

그렇다면, 함수 집합 ${\displaystyle Y^{X}}$ 위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다.

아르첼라-아스콜리 정리(영어: Arzelà–Ascoli theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:TG X.17, Théorème X.2.2}

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 동등 연속 함수족이다.
  • 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \{f(x)\colon f\in {\mathcal {F}}\}\subseteq Y}$는 콤팩트 집합이다.

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 균등 공간 ${\displaystyle X}$
• 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$
• 균등 연속 함수족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:TG X.17, Théorème X.2.2}

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 균등 동등 연속 함수족이다.
  • 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \{f(x)\colon f\in {\mathcal {F}}\}\subseteq Y}$는 콤팩트 집합이다.

예

다음과 같은 함수열을 생각하자.

${\displaystyle \{x\mapsto \arctan nx\colon n\in \mathbb {N} \}\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$

이는 ${\displaystyle x=0}$에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 ${\displaystyle x=0}$에서 기울기들의 열 ${\displaystyle \{d\arctan(nx)/dx|_{x=0}=n\}_{n\in \mathbb {N} }}$이 발산하기 때문이다.

역사

동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(이탈리아어: Giulio Ascoli, 1843~1896)^[2]와 체사레 아르첼라(이탈리아어: Cesare Arzelà, 1847~1912)^[3]가 도입하였다.