아르틴 상호 법칙

유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의

${\displaystyle K}$가 대수적 수체이며, ${\displaystyle L/K}$가 유한 아벨 확대라고 하자.

${\displaystyle K}$의 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$가 ${\displaystyle L/K}$에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)\in \operatorname {Gal} (L/K)}$

가 존재한다. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 위의, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$의 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$에 대하여,

${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}}$

${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)(\alpha )\equiv \alpha ^{N_{L/K}({\mathfrak {p}})}{\pmod {\mathfrak {P}}}}$

${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle L/K}$에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, ${\displaystyle S}$에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 ${\displaystyle I_{K}^{S}}$에서 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.

${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\cdot }}\right)\colon I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\mapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}}$

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$에 대하여, 군 준동형

${\displaystyle I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)}$

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})}$

여기서 ${\displaystyle K_{{\mathfrak {m}},1}}$은 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 대한 반직선이며, ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}}$는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 ${\displaystyle L/K}$의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 ${\displaystyle L/K}$의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

예

이차 수체

이차 수체 ${\displaystyle L=\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]}$을 생각하자 (${\displaystyle m}$은 제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.

• 만약 ${\displaystyle m\equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우, ${\displaystyle p\mid m}$인 소수 ${\displaystyle p}$. 이 경우, 판별식은 ${\displaystyle \Delta =m}$이다.
• 만약 ${\displaystyle m\not \equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우, ${\displaystyle p\mid m}$인 홀수 소수 ${\displaystyle p}$ 및 2. 이 경우, 판별식은 ${\displaystyle \Delta =4m}$이다.

이 경우, 갈루아 군은

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [{\sqrt {m}}]/\mathbb {Q} )=\{+1,-1\}}$

이다. 이 경우, 아르틴 사상은 ${\displaystyle m}$의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

${\displaystyle \left({\frac {m}{\cdot }}\right)\colon p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

원분체

원분체 ${\displaystyle L=\mathbb {Q} [\zeta _{m}]}$을 생각하자 (${\displaystyle m}$은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [\zeta _{m}]/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }}$

이다. 여기서 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /(m))^{\times }}$은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$의 가역원군이다. 구체적으로, ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /(m))^{\times }}$은 갈루아 군의 원소 ${\displaystyle \zeta _{\mapsto }\zeta _{m}^{a}}$에 대응된다.

이 경우, ${\displaystyle m}$의 인수가 아닌 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, 아르틴 사상은

${\displaystyle ({\bmod {m}})\colon p\mapsto (p{\bmod {m}})\in (\mathbb {Z} /(m))^{\times }}$

이다.

역사

에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.^[1][2][3]

같이 보기

• 아르틴 L-함수
• 모듈러스