알라디-그린스테드 상수

알라디-그린스테드 상수(Alladi–Grinstead constant)는 알라디 (K. Alladi)와 그린스테드(C. Grinstead)로부터 명명되었다.^[1][2]

알라디-그린스테드 상수는 자연로그의 밑 e에 지수로 작용하는 뤼로스 상수의 1의 보수와 관계있다.^[3]

아이디어

${\displaystyle n!}$의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다.

가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수${\displaystyle n}$의 개수대로 재정렬한다.

${\displaystyle 4!=4\cdot 3!}$

${\displaystyle \;\;\;=4\cdot 3\cdot 2}$

${\displaystyle \;\;\;=2^{2}\cdot 3\cdot 2}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}$

${\displaystyle 5!=5\cdot 4!}$

${\displaystyle \;\;\;=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2^{2}}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}$

${\displaystyle 6!=6\cdot 5!}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 3\cdot 5!}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 3\cdot 2\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5}$

${\displaystyle 7!=7\cdot 6!}$

${\displaystyle \;\;\;=7\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7}$

${\displaystyle 8!=8\cdot 7!}$

${\displaystyle \;\;\;=2^{3}\cdot 7!}$

${\displaystyle \;\;\;=2^{3}\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8}$

${\displaystyle 9!=9\cdot 8!}$

${\displaystyle \;\;\;=3^{2}\cdot 8!}$

${\displaystyle \;\;\;=3^{2}\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}\cdot 3^{2}}$

${\displaystyle \;\;\;=3^{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8}$

${\displaystyle 10!=10\cdot 9!}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 5\cdot 9!}$

${\displaystyle \;\;\;=2\cdot 5\cdot 3^{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=3^{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}\cdot 2^{3}}$

${\displaystyle \;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 8}$

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.^[4]

${\displaystyle \alpha (n)={{\ln p} \over {\ln n}}}$

${\displaystyle p=m(n)=max\left(P^{begin}\right)}$

${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle n!}$에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값${\displaystyle P}$이다.^[5][6][7]

계산

${\displaystyle \alpha (8)={{\ln 2} \over {\ln 8}}={{\ln 2} \over {\ln 2^{3}}}={{\ln 2} \over {3\ln 2}}={1 \over 3}=0.3333\cdots }$

${\displaystyle \alpha (9)={{\ln 3} \over {\ln 9}}={{\ln 3} \over {\ln 3^{2}}}={{\ln 3} \over {2\ln 3}}={1 \over 2}=0.5}$

${\displaystyle n}$이 무한히 커지면서 ${\displaystyle 0.8093940205....}$에 접근한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha (n)=e^{c-1}=0.8093940205....(OEISA085291)}$

${\displaystyle c=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln {{k} \over {k-1}}\;\;\;c}$는 뤼로스 상수

${\displaystyle c=\sum _{n=1}^{\infty }{{\zeta (n+1)-1} \over {n}}\;\;\;\zeta }$는 리만제타함수

${\displaystyle \;\;\;=0.7885305659...(OEISA085361)}$

같이 보기

• 골롬-딕맨 상수
• 피보나치 수렴 그래프
• 수학 상수