애덤스-윌리엄슨 방정식

애덤스-윌리엄슨 방정식(Adams–Williamson equation)은 리슨 H. 애덤스와 E. D. 윌리엄슨의 이름을 따 붙여진, 밀도를 반지름의 함수로 결정하는 데 사용되는 방정식이다. 더 일반적으로는 지진파의 속도와 지구 내부의 밀도 간의 관계를 결정하는 데 사용된다.^[1] 지구 표면의 평균 암석 밀도와 깊이의 함수로서의 P파 및 S파 속도 그래프가 주어지면 밀도가 깊이에 따라 어떻게 증가하는지 예측할 수 있다.^[2] 이 방정식은 압축이 단열적이고 지구가 구형 대칭이며 균질하고 정역학적 평형 상태에 있다고 가정한다. 이러한 속성을 가진 구형 껍질에도 적용될 수 있다. 이는 예비 참조 지구 모델 (PREM)과 같은 지구 내부 모델의 중요한 계산식이다.^[3][4]

역사

윌리엄슨과 애덤스는 1923년 처음으로 이 이론을 개발했다. 그들은 "따라서 지구의 높은 밀도를 오직 압축만으로는 설명할 수 없다. 밀도가 높은 내부는 작은 부피로 압축된 일반적인 암석으로 구성될 수 없다. 그러므로 우리는 유일하게 합리적인 대안인 더 무거운 물질, 아마도 어떤 금속의 존재로 돌아가야 한다. 지구 지각, 운석, 태양에서의 풍부함으로 판단할 때 이는 아마도 철일 것이다."라고 결론지었다.^[3]

이론

두 가지 유형의 지진 실체파는 압축파(P파)와 전단파(S파)이다. 두 파동 모두 이동하는 매질의 탄성 특성, 특히 부피 탄성 계수 K, 층밀림 탄성률 μ, 밀도 ρ에 결정되는 속도를 가진다. 이러한 매개변수로 P파 속도 v_p와 S파 속도 v_s는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{p}&={\sqrt {\frac {K_{S}+(4/3)\mu }{\rho }}}\\v_{s}&={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}.\end{aligned}}}$

이 두 속도는 지진 매개변수로 결합될 수 있다.

${\displaystyle \Phi =v_{p}^{2}-{\frac {4}{3}}v_{s}^{2}={\frac {K_{S}}{\rho }}.}$

(1)

등엔트로피 부피 탄성 계수의 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle K_{S}=-V{\frac {dP}{dV}},}$

이는 다음 식과 동일하다.

${\displaystyle K_{S}=\rho {\frac {dP}{d\rho }}.}$

(2)

지구 중심으로부터 r 거리의 영역이 정역학적 평형 상태의 유체로 간주될 수 있다고 가정하면, 그 아래 부분의 지구로부터의 중력 인력과 그 위 부분의 압력에 의해 영향을 받는다. 또한 압축이 단열적이라고 가정하면 (따라서 열팽창은 밀도 변화에 기여하지 않는다), 압력 P(r)은 r에 따라 다음과 같이 변한다.

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-\rho (r)g(r),}$

(3)

여기서 g(r)은 반지름 r에서의 중력 가속도이다.^[3]

1, 2, 3을 결합하면 애덤스-윌리엄슨 방정식이 도출된다.

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\rho (r)g(r)}{\Phi (r)}}.}$

이 방정식은 다음을 얻기 위해 적분될 수 있다.

${\displaystyle \ln \left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)=-\int _{r_{0}}^{r}{\frac {g(r)}{\Phi (r)}}dr,}$

여기서 r₀는 지구 표면의 반지름이고 ρ₀는 표면의 밀도이다. ρ₀와 P파 및 S파 속도의 프로파일이 주어지면, 밀도의 방사형 의존성은 수치 적분을 통해 결정될 수 있다.^[3]