약수 함수

정수론에서 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 양의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

정의

자연수 ${\displaystyle n}$과 복소수 ${\displaystyle a}$에 대하여, 약수 함수 ${\displaystyle \sigma _{a}(n)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle \displaystyle \sum _{d\mid n}}$은 ${\displaystyle n}$의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 ${\displaystyle n}$ 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$은 ${\displaystyle d(n)}$로도 나타내며, ${\displaystyle n}$의 약수의 개수에 해당한다.

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\#\{d\in \mathbb {Z} ^{+}\colon d\mid m\}}$

${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$은 시그마 함수 ${\displaystyle \sigma (n)}$라고 하며 ${\displaystyle n}$의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.

${\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d}$

${\displaystyle s(n)}$ = ${\displaystyle \sigma (n)}$ - ${\displaystyle n}$으로 표시하며, 이 값은 ${\displaystyle n}$에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합에 해당한다. ${\displaystyle s(n)}$ = ${\displaystyle n}$이 되는 수를 완전수라 한다.

성질

p가 소수일 때에만

${\displaystyle \sigma _{1}(p)=p+1}$

이 성립한다. 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ 로 소인수 분해된다면,

${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(\alpha _{i}+1)}$,

${\displaystyle \sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}$

이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,

${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(\alpha _{i}+1)a}-1}{p_{i}^{a}-1}}}$

이 성립한다.

그리고 오일러-마스케로니 상수 값을 γ로 적을 때,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma }}$

가 된다.

약수 함수열

함수	OEIS 번호	σk(n) (n=1, 2, 3, …)
σ0	A000005	1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, …
σ1	A000203	1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, …
σ2	A001157	1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, …
σ3	A001158	1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, …
σ4	A001159	1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, …
σ5	A001160	1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, …
σ6	A013954	1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, …
σ7	A013955	1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, …
⋮	⋮
σ24	A013972	1, 16777217, 282429536482, 281474993487873, …

같이 보기

• 수론적 함수
• 오일러 피 함수
• 유니타리 약수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Divisor function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.