약수 함수

정수론에서 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

정의

양의 정수 ${\displaystyle n}$과 복소수 ${\displaystyle a}$에 대하여, 약수 함수 ${\displaystyle \sigma _{a}(n)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}}$

여기서 ${\displaystyle \textstyle \displaystyle \sum _{d\mid n}}$은 ${\displaystyle n}$의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 ${\displaystyle n}$ 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$은 ${\displaystyle d(n)}$로도 나타내며, ${\displaystyle n}$의 약수의 개수에 해당한다.

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\#\{d\in \mathbb {Z} ^{+}\colon d\mid m\}}$

${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$은 시그마 함수 ${\displaystyle \sigma (n)}$라고 하며 ${\displaystyle n}$의 모든 약수의 합을 나타낸다.

${\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d}$

${\displaystyle \sigma (n)-n}$은 진약수의 합 ${\displaystyle s(n)}$이다.

표

낮은 지수의 약수 함수의 열은 다음과 같다.

σ₀

1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, … (OEIS의 수열 A000005)

σ₁

1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, … (OEIS의 수열 A000203)

σ₂

1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, … (OEIS의 수열 A001157)

σ₃

1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, … (OEIS의 수열 A001158)

σ₄

1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, … (OEIS의 수열 A001159)

σ₅

1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, … (OEIS의 수열 A001160)

σ₆

1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, … (OEIS의 수열 A013954)

σ₇

1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, … (OEIS의 수열 A013955)

성질

양의 정수 ${\displaystyle p}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle p}$는 소수이다.
• ${\displaystyle d(p)=2}$
• ${\displaystyle \sigma (p)=p+1}$

왜냐하면 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$ 로 소인수 분해된다면,

${\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1)}$,

${\displaystyle \sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}$

이 된다. 일반적으로 ${\displaystyle a\neq 0}$인 경우,

${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{a(a_{i}+1)}-1}{p_{i}^{a}-1}}}$

이 성립한다.

크기

다음이 성립한다.^{[1]:262, Theorem 317[1]:266, Theorem 323}

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln d(n)\ln \ln n}{\ln n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma }}$

여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 상극한들에 대응하는 하극한들은 자명하게 0이므로, 이 상극한들은 극한이 아니다. 즉, 약수 함수의 크기는 매우 불규칙적이다.

평균 크기

약수 함수의 부분합은 보다 좋은 점근적 근사를 갖는다. 예를 들어, 다음과 같은 점근 공식이 있다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}})}$

이에 따라, 양의 정수 ${\displaystyle n}$은 평균적으로 약 ${\displaystyle \ln n}$개의 약수를 갖는다. 이는 디리클레 쌍곡선 방법(영어: Dirichlet hyperbola method)을 사용하여 보일 수 있다. 디리클레 약수 문제(Dirichlet約數問題, 영어: Dirichlet divisor problem)는 이 점근 공식의 오차 ${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$를 개선하는 문제다.

다음과 같은 점근 공식이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sigma (k)={\frac {1}{12}}\pi ^{2}n^{2}+O(n\ln n)}$

이에 따라, 양의 정수 ${\displaystyle n}$의 약수의 합은 평균적으로 약 ${\displaystyle \pi ^{2}n/6}$이다.

로뱅 부등식

다음 네 명제는 서로 동치이다.

• 리만 가설
• 임의의 정수 ${\displaystyle n\geq 5141}$에 대하여, 로뱅 부등식(Robin不等式, 영어: Robin’s inequality) $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\ln \ln n}$$은 참이다.
• 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, 로뱅 부등식은 참이다.
• 임의의 ${\displaystyle 0<\beta <1/2}$ 및 ${\displaystyle C>0}$에 대하여, 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여 $${\displaystyle \sigma (n)\leq e^{\gamma }n\ln \ln n+{\frac {Cn\ln \ln n}{(\ln n)^{\beta }}}}$$이다.

임의의 정수 ${\displaystyle n\geq 3}$에 대하여, 로뱅 부등식보다 약한 부등식

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\ln \ln n+0.6482{\frac {n}{\ln \ln n}}}$

이 성립한다.

만약 리만 가설이 거짓이라면, 로뱅 부등식의 반례가 되는 거대 과잉수가 존재한다.