약콤팩트 기수

집합론에서 약콤팩트 기수(弱compact基數, 영어: weakly compact cardinal)는 그 만큼 무한한 수의 항들의 논리합 및 제한 기호 ${\displaystyle \forall }$를 사용하는 무한 논리에서, 약한 형태의 콤팩트성 정리가 성립하는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

비가산 기수에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 약콤팩트 기수라고 한다.

• ${\displaystyle [\kappa ]^{2}=\{S\subset \kappa \colon |S|=2\}}$라고 하자. 그렇다면 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon [\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$에 대하여, ${\displaystyle [S]^{2}\subset f^{-1}(0)}$ 또는 ${\displaystyle [S]^{2}\subset f^{-1}(1)}$인 ${\displaystyle S\subset \kappa }$가 존재한다.
• 크기가 ${\displaystyle \kappa }$인 임의의 전순서 집합은 순서형이 ${\displaystyle \kappa }$인 정렬 부분 집합을 갖는다.
• (확장성 영어: extension property) 임의의 ${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합 ${\displaystyle X}$ 및 그 부분집합 ${\displaystyle S\subset X}$가 존재한다.
  • ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$는 ${\displaystyle (X,\in ,S)}$의 기본적 부분 구조이다. 여기서 ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle S}$는 (같은) 1항 관계로 여긴다.
• 무한 논리 ${\displaystyle L_{\kappa ,\kappa }}$는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 이론 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset L_{\kappa ,\kappa }}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \kappa }$라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • 만약 모든 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {T}}}$에 대하여, ${\displaystyle |{\mathcal {S}}|<\kappa }$라면 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {S}}\models {\mathcal {S}}}$인 구조 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {S}}}$가 존재한다.
  • ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models {\mathcal {T}}}$인 구조 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$가 존재한다.
• 무한 논리 ${\displaystyle L_{\kappa ,\omega }}$는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

성질

모든 말로 기수(영어: Mahlo cardinal)는 약콤팩트 기수이다. (따라서 모든 도달 불가능한 기수는 약콤팩트 기수이다.) 모든 강콤팩트 기수는 약콤팩트 기수이다.

역사

에르되시 팔과 알프레트 타르스키가 도입하였다.^[1]