언더샘플링

실수 값 함수의 푸리에 변환은 0 Hz 축을 중심으로 대칭이다. 샘플링 후에는 푸리에 변환의 주기적 합산(이산시간 푸리에 변환)만 사용할 수 있다. 원래 변환의 개별 주파수 이동된 복사본을 에일리어스라고 한다. 인접한 에일리어스 간의 주파수 오프셋은 샘플링 속도인 f_s로 표시된다. 에일리어스가 상호 배타적일 때(스펙트럼적으로), 원래 변환과 원래 연속 함수, 또는 필요하다면 주파수 이동된 버전은 샘플에서 복구될 수 있다. 그림 1의 첫 번째와 세 번째 그래프는 에일리어스를 완전히 분리하는 속도로 샘플링되기 전과 후의 기저 대역 스펙트럼을 나타낸다.

그림 1의 두 번째 그래프는 대역 (A, A+B)를 차지하는 대역통과 함수의 주파수 프로파일(음영 처리된 파란색)과 그 미러 이미지(음영 처리된 베이지색)를 나타낸다. 비파괴 샘플링 속도에 대한 조건은 두 대역의 에일리어스가 f_s의 모든 정수배로 이동될 때 겹치지 않는다는 것이다. 네 번째 그래프는 기저대역 함수와 동일한 속도로 샘플링한 스펙트럼 결과를 나타낸다. 이 속도는 A의 정수 부분배이고 기저대역 나이퀴스트 기준: f_s > 2B를 만족하는 가장 낮은 속도를 찾아 선택되었다. 결과적으로, 대역통과 함수는 효과적으로 기저대역으로 변환되었다. 겹침을 피하는 다른 모든 속도는 f_L과 f_H로 각각 A와 A+B를 대체하는 다음의 더 일반적인 기준에 의해 주어진다:^[2]^[3]

{\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}

, 다음을 만족하는 임의의 정수 n에 대해:

1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor

조건을 만족하는 가장 높은 n은 가능한 가장 낮은 샘플링 속도를 가져온다.

이러한 중요한 신호에는 라디오의 중간 주파수(IF), 무선 주파수(RF) 신호 및 필터 뱅크의 개별 채널이 포함된다.

n > 1인 경우, 이 조건은 때때로 언더샘플링, 대역통과 샘플링 또는 나이퀴스트율(2f_H)보다 낮은 샘플링 속도를 사용하는 것으로 언급된다. 주어진 샘플링 주파수의 경우, 신호의 스펙트럼 대역에 대한 제약 조건에 대한 더 간단한 공식은 아래와 같다.

예시: FM 라디오를 통해 언더샘플링 개념을 설명한다.

미국에서 FM 라디오는 f_L = 88 MHz에서 f_H = 108 MHz의 주파수 대역에서 작동한다. 대역폭은 다음과 같이 주어진다.

W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz}

샘플링 조건은 다음을 만족한다.

1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz}  \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor

따라서 n은 1, 2, 3, 4, 또는 5가 될 수 있다.

n = 5 값은 가장 낮은 샘플링 주파수 간격

43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}

를 제공하며, 이는 언더샘플링 시나리오이다. 이 경우, 신호 스펙트럼은 샘플링 속도의 2배에서 2.5배 사이(86.4–88 MHz보다 높지만 108–110 MHz보다 낮음)에 맞는다.

n 값이 더 낮아도 유용한 샘플링 속도를 얻을 수 있다. 예를 들어, n = 4를 사용하면 FM 대역 스펙트럼이 샘플링 속도의 1.5배에서 2.0배 사이에 쉽게 들어맞으며, 샘플링 속도는 56 MHz 근처이다(나이퀴스트 주파수의 배수는 28, 56, 84, 112 등). 오른쪽 그림들을 참조하라.

실제 신호를 언더샘플링할 때, 샘플링 회로는 관심 있는 가장 높은 신호 주파수를 포착할 수 있을 만큼 충분히 빨라야 한다. 이론적으로 각 샘플은 무한히 짧은 간격 동안 취해져야 하지만, 이는 실제로 불가능하다. 대신, 신호의 샘플링은 가장 높은 주파수를 가진 신호의 순간 값을 나타낼 수 있을 만큼 충분히 짧은 간격으로 이루어져야 한다. 이는 위 FM 라디오 예시에서 샘플링 회로가 43.2 MHz가 아닌 108 MHz 주파수의 신호를 포착할 수 있어야 함을 의미한다. 따라서 샘플링 주파수는 43.2 MHz보다 약간만 더 클 수 있지만, 시스템의 입력 대역폭은 최소 108 MHz여야 한다. 마찬가지로, 샘플링 타이밍의 정확성, 즉 샘플러의 개구 불확실성, 종종 아날로그-디지털 변환기는 샘플링되는 주파수 108 MHz에 적합해야 하며, 더 낮은 샘플링 속도가 아니다.

만약 표본화 정리가 가장 높은 주파수의 두 배를 요구하는 것으로 해석된다면, 필요한 샘플링 속도는 나이퀴스트율인 216 MHz보다 커야 한다고 가정될 것이다. 이는 샘플링 속도에 대한 마지막 조건을 만족하지만, 심하게 오버샘플링된 것이다.

대역이 n > 1로 샘플링되는 경우, 위신호 제거 필터로 저역통과 필터 대신 대역통과 필터가 필요하다는 점에 유의하라.

우리가 보았듯이, 가역 샘플링을 위한 일반적인 기저대역 조건은 X(f)가 다음 간격 외부에서는 0이라는 것이다: $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$