없앨 수 있는 특이점

복소해석학에서, 정칙함수의 없앨 수 있는 특이점이란 그 점에서 함수가 정의되어 있지는 않지만, 결과적으로 함수가 그 점의 근방에서 정칙이 되도록 정의될 수 있는 점을 말한다.

x = 2에서 없앨 수 있는 특이점을 갖는 포물선의 그래프

예를 들어, (정규화되지 않은) 싱크함수

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

는 z = 0을 특이점으로 갖는다. 이 특이점은 ${\displaystyle {\text{sinc}}}$의 z가 0으로 갈 때의 극한인, ${\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}$으로 정의함으로써 제거될 수 있다. 결과로 얻은 함수는 정칙함수이다. 이 경우 문제는 ${\displaystyle {\text{sinc}}}$가 부정형으로 주어졌기 때문에 초래되었다.. 해당 특이점 주변에서 ${\displaystyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$에 대한 거듭제곱 전개를 취하면

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

형식적으로, 만일 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$가 복소평면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 열린 부분집합이고, ${\displaystyle a\in U}$ 가 ${\displaystyle U}$의 점이며, ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$가 정칙함수일 때, ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$에서 ${\displaystyle f}$와 일치하는 정칙함수 ${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$가 있으면, ${\displaystyle a}$를 없앨 수 있는 특이점이라 한다. 이때, 그러한 ${\displaystyle g}$가 존재하면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle U}$ 위에 정칙적으로 확장 가능하다고 한다.

리만의 정리

없앨 수 있는 특이점에 대한 리만의 정리는 다음과 같다.

정리. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$가 복소평면의 열린 부분집합이고, ${\displaystyle a\in D}$가 ${\displaystyle D}$의 점이며 ${\displaystyle f}$가 집합 ${\displaystyle D\setminus \{a\}}$에서 정의된 정칙함수라 하자. 그러면 다음은 동치이다:

1. ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle a}$로 정칙적으로 확장 가능하다.
2. ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle a}$로 연속적으로 확장 가능하다.
3. ${\displaystyle f}$가 유계인 ${\displaystyle a}$의 근방이 존재한다.
4. ${\displaystyle \lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$.

1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4의 함의는 자명하다. 4 ⇒ 1를 증명하기 위해, ${\displaystyle a}$에서의 정칙성이 ${\displaystyle a}$에서 해석적인 것과 동치임을 상기하자(증명), 즉 거듭제곱급수 표현을 갖는다는 것이다. 다음을 정의하자.

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

분명히, h는 D -{a}에서 정칙이고, (4)에 의해 다음이 존재한다.

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}$

따라서 h는 D에서 정칙이고 a에 대한 테일러 급수 표현을 갖는다.

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

c₀ = h(a) = 0이고 c₁ = h'(a) = 0이므로

${\displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.}$

따라서, z ≠ a일 때, 다음을 얻는다.

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

그런데,

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.}$

는 D에서 정칙이므로, f의 확장이다.

다른 종류의 특이점

실변수 함수와 달리, 정칙함수는 충분히 그들의 특이점을 완전히 분류할 수 있을만큼 굳다. 정칙함수의 특이점은 실제로는 전혀 특이점이 아닌, 즉 없앨 수 있는 특이점이거나, 다음의 두 종류 중 하나이다.

1. 리만의 정리에 비추어, 없앨 수 없는 특이점이 주어지면, ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}$인 자연수 ${\displaystyle m}$이 존재하는지 물을 수도 있을 것이다. 만일 그렇다면, ${\displaystyle a}$를 ${\displaystyle f}$의 극점이라 하고, 가장 작은 ${\displaystyle m}$을 ${\displaystyle a}$의 위수라 한다. 그러므로 없앨 수 있는 특이점은 정확히 위수가 0인 극점이다. 정칙함수는 이것의 또다른 극점을 균일하게 폭발한다.
2. 만일 ${\displaystyle f}$의 고립특이점 ${\displaystyle a}$가 없앨 수 있는 특이점도, 극점도 아니면, 이를 본질적 특이점이라 한다. 피카르의 대정리는 그러한 ${\displaystyle f}$는 모든 구멍 뚫린 열린 근방 ${\displaystyle U\setminus \{a\}}$를 최대 한 점을 예외점으로 갖는 복소평면 전체로 사상함을 보여준다.

같이 보기

• 해석적 용량
• 없앨 수 있는 불연속점

외부 링크

• 수학 백과의 없앨 수 있는 특이점