에어리 함수

수학에서 에어리 함수(Airy function)는 특수 함수의 한 종류다. 두 개가 있으며, 기호는 Ai와 Bi다. 조지 비델 에어리가 광학을 연구하기 위해 1838년에 도입하였다.^[1]

에어리 함수의 그래프

정의

다음과 같은 ${\displaystyle f(x)}$에 대한 이차 선형 상미분 방정식을 에어리 미분 방정식(Airy differential equation)이라고 한다.

${\displaystyle f''(x)=xf(x)}$.

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로, 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(t^{3}/3+xt)\,dt}$

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\right]\,dt}$.

성질

${\displaystyle x\gg 1}$일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

${\displaystyle Ai(x)\approx {\frac {\exp(-{\frac {2}{3}}x^{3/2})}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$ (분모에 2가 있는 것에 주의!)

${\displaystyle Bi(x)\approx {\frac {\exp({\frac {2}{3}}x^{3/2})}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

${\displaystyle Ai(-x)\approx {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

${\displaystyle Bi(-x)\approx {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$.

그래프

${\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}$