연쇄 법칙

미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다.

정의

실변수 실숫값 함수

함수 ${\displaystyle g}$가 ${\displaystyle x_{0}}$에서 미분 가능하며, 함수 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle g(x_{0})}$에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f\circ g}$는 ${\displaystyle x_{0}}$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

${\displaystyle (f\circ g)'(x_{0})=f'(g(x_{0}))g'(x_{0})}$

특히, 만약 ${\displaystyle g}$가 구간 ${\displaystyle I}$에서, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle g(I)}$에서 미분 가능하다면, ${\displaystyle f\circ g}$는 ${\displaystyle I}$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}$

이를 라이프니츠 표기법 및 표기 ${\displaystyle y=f(u)}$, ${\displaystyle u=g(x)}$를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환 적분이라고 한다.

보다 일반적으로, 함수의 합성의 고계 도함수에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 파 디 브루노 공식(영어: Faà di Bruno's formula)이라고 한다.

${\displaystyle (f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+2k_{2}+\cdots nk_{n}=n}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}f^{(k_{1}+\cdots +k_{n})}(g(x))\prod _{m=1}^{n}\left({\frac {g^{(m)}(x)}{m!}}\right)^{k_{m}}}$

다변수 벡터값 함수

a ∈ Rⁿ, g : Rⁿ → R^m, f : R^m → R^p라 하자. 만약 g가 a에서 미분가능하고, f가 g(a)에서 미분가능하다면 f∘g는 a에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

${\displaystyle D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}$

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x₁, x₂, …, x_n) : Rⁿ → R^m , f(u₁, u₂,…, u_m) : R^m → R 가 a에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = f∘g= f(g(x₁, x₂, …, x_n))는 미분가능하고 미분은

${\displaystyle Dz(a)=D(f\circ g)(\mathbf {a} )=Df(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )=\nabla f(g(\mathbf {a} ))Dg(\mathbf {a} )}$

편미분은

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}=\sum _{i=1}^{m}{\partial f \over \partial u_{i}}{\partial u_{i} \over \partial x_{j}}={\partial f \over \partial u_{1}}{\partial u_{1} \over \partial x_{j}}+{\partial f \over \partial u_{2}}{\partial u_{2} \over \partial x_{j}}+\cdots +{\partial f \over \partial u_{m}}{\partial u_{m} \over \partial x_{j}}}$

이다.

같이 보기

• 곱의 규칙
• 고계도함수
• 테일러급수