영행렬

선형대수학에서 영행렬(영어: zero matrix, null matrix)은 모든 성분이 0인 행렬이다.^[1]:25 행렬의 덧셈의 항등원을 이룬다.

정의

환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 영행렬은 다음과 같은 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬이다.

${\displaystyle 0_{m\times n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{m\times n}}$

즉, 모든 성분이 환 ${\displaystyle R}$의 덧셈 항등원 ${\displaystyle 0\in R}$인 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬이다. 예를 들어, 2×3 및 4×4 영행렬은 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

성질

환 ${\displaystyle R}$ 위의 임의의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

${\displaystyle A+0_{m\times n}=0_{m\times n}+A=A}$

${\displaystyle 0_{m\times m}A=A0_{n\times n}=0_{m\times n}}$

즉,

• ${\displaystyle m\times n}$ 영행렬은 행렬 공간 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$의 덧셈 항등원이다.
• 임의의 행렬에 영행렬을 곱하면 영행렬이 된다.

같이 보기

• 단위행렬