오각수

수학에서 오각수(五角數, 영어: pentagonal number)는 오각형을 사용하여 정의되는 다각수이다. 삼각수, 정사각수와 달리, 오각수를 나타내는 공의 배열은 균일하지 않다.

도형을 통해 나타낸 처음 6개의 오각수

정의

음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle n}$번째 오각수 ${\displaystyle \operatorname {Pen} (n)}$는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Pen} (n)={\frac {n(3n-1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}(3k-2)}$

처음 몇 오각수는 다음과 같다.

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ... (OEIS의 수열 A000326)

성질

n번째 오각수는 3n-1번째 삼각수의 ⁠1/3⁠과 같다.

오각수는 홀수-홀수-짝수-짝수의 순서로 이어지며, 1과 5를 빼고는 모두 합성수이다.

오각수는 오일러의 오각수 정리에도 등장한다.

모든 자연수는 최대 5개의 오각수의 합으로 표현할 수 있다. (다각수 정리)

같이 보기

• 삼각수
• 정사각수
• 오일러의 오각수 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pentagonal number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.