오일러 거듭제곱 합 추측

수학에서 오일러 거듭제곱 합 추측(영어: Euler's sum of powers conjecture)은 페르마의 마지막 정리를 일반화하는 추측의 하나였으며, 거짓임이 증명되었다. 레온하르트 오일러가 1769년 제안했었다.^[1][2] 이는 1보다 큰 모든 정수 n과 k에 대해 n개의 양의 정수의 k번째 거듭제곱의 합이 그 자체로 k번째 거듭제곱이면 n은 k보다 크거나 같다는 추측이다.

$${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k}$$

이 추측은 페르마의 마지막 정리를 일반화하려는 시도이다. 특별한 경우로 n = 2: if ${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},}$ 라면 2 ≥ k이 페르마의 마지막 정리에 해당한다.

이 추측은 k = 3인 경우(페르마의 마지막 정리에서 세제곱인 경우)에는 성립하지만, k = 4와 k = 5인 경우에는 반증되었다. k ≥ 6인 경우에 이 추측이 실패하는지, 성립하는지는 알려지지 않았다.

일반화

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³ (플라토의 수 216)

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ (R. Frye, 1988)^[1]

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴ (R. Norrie, 1911)^[2]

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966)

19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵ = 72⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)^[2]

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵ (Sastry, 1934, third smallest)^[2]

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷ (M. Dodrill, 1999)^{[출처 필요]}

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸ (S. Chase, 2000)^{[출처 필요]}