대수적 위상수학에서, 올적분(-積分, 영어: fiber integration, integration along fibers)은 미분 형식 및 드람 코호몰로지에 대하여 정의되는, 올다발의 전체 공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류를 그 밑공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류에 대응시키는 사상이다. 정의요약관점 다음이 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 B {\displaystyle B} 위의 매끄러운 올다발 π : E ↠ B {\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B} . 또한, 그 올이 m {\displaystyle m} 차원 콤팩트 유향 다양체라고 하자. 미분 형식 α ∈ Ω k + m ( E ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+m}(E)} 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. β v 1 , … , v k ∈ Ω m ( π − 1 ( π ( e ) ) ) ∀ e ∈ E , v 1 , … , v k ∈ T e E {\displaystyle \beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}\in \Omega ^{m}(\pi ^{-1}(\pi (e)))\qquad \forall e\in E,\;v_{1},\dotsc ,v_{k}\in \mathrm {T} _{e}E} β v 1 , … , v k ( w 1 , … , w m ) = α ( w 1 , … , w m , v 1 , … , v k ) {\displaystyle \beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}(w_{1},\dotsc ,w_{m})=\alpha (w_{1},\dotsc ,w_{m},v_{1},\dotsc ,v_{k})} π ! α ∈ Ω k ( B ) {\displaystyle \pi _{!}\alpha \in \Omega ^{k}(B)} ( π ! α ) ( v 1 , v 2 , … , v k ) = ∫ π − 1 ( b ) β v 1 , … , v k ∀ e ∈ E , v 1 , … , v k ∈ T e E {\displaystyle (\pi _{!}\alpha )(v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{k})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}\qquad \forall e\in E,\;v_{1},\dotsc ,v_{k}\in \mathrm {T} _{e}E} 스토크스 정리에 따라서, 올이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체이므로, 이는 드람 코호몰로지의 사상 π ! : H ∙ + m ( E ; R ) → H ∙ ( B ; R ) {\displaystyle \pi _{!}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +m}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B;\mathbb {R} )} 을 정의한다. 이를 미분 형식 또는 드람 코호몰로지류의 올적분이라고 한다. Remove ads예요약관점 함수 공간 E = C ∞ ( X , Y ) {\displaystyle E={\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)} 을 생각하고, dim X = n {\displaystyle \dim X=n} 이라고 하고, X {\displaystyle X} 가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, 자연스러운 함수 ev : E × X → Y {\displaystyle \operatorname {ev} \colon E\times X\to Y} 가 존재한다. 이 경우, Y {\displaystyle Y} 위의 k {\displaystyle k} 차 미분 형식 α = α i 1 … i k d y i 1 ∧ … ∧ d y i k {\displaystyle \alpha =\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}\mathrm {d} y^{i_{1}}\wedge \dotso \wedge \mathrm {d} y^{i_{k}}} 가 주어졌다면, ev ∗ α | f , x = α i 1 … i k ( f ( x ) ) ( d f ( x ) i 1 + ∂ μ 1 ϕ i 1 d x μ 1 ) ∧ ( d f ( x ) i k + ∂ μ k ϕ i k d x μ k ) ∈ Ω k ( E × X ) {\displaystyle \operatorname {ev} ^{*}\alpha |_{f,x}=\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}(f(x))(\mathrm {d} f(x)^{i_{1}}+\partial _{\mu _{1}}\phi ^{i_{1}}\mathrm {d} x^{\mu _{1}})\wedge (\mathrm {d} f(x)^{i_{k}}+\partial _{\mu _{k}}\phi ^{i_{k}}\mathrm {d} x^{\mu _{k}})\in \Omega ^{k}(E\times X)} 를 정의할 수 있다. 올적분을 취하여, E {\displaystyle E} 위의 k − n {\displaystyle k-n} 차 미분 형식을 다음과 같이 정의할 수 있다. ∫ X α i 1 … i k ( f ( x ) ) ∂ μ 1 ϕ i 1 d x μ 1 ∧ ⋯ ∧ ∂ μ n ϕ i n d x μ n ∧ d f ( x ) i 1 + n ∧ ⋯ ∧ d f ( x ) i k ∈ Ω k − dim X ( E ) {\displaystyle \int _{X}\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}(f(x))\partial _{\mu _{1}}\phi ^{i_{1}}\mathrm {d} x^{\mu _{1}}\wedge \dotsb \wedge \partial _{\mu _{n}}\phi ^{i_{n}}\mathrm {d} x^{\mu _{n}}\wedge \mathrm {d} f(x)^{i_{1+n}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} f(x)^{i_{k}}\in \Omega ^{k-\dim X}(E)} Remove ads외부 링크 “Fiber integration”. 《nLab》 (영어). “Transgression”. 《nLab》 (영어). Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads