하르 측도

해석학에서 하르 측도(Haar測度, 영어: Haar measure)는 특수한 위상군 위에 정의할 수 있는, 군의 구조를 따르는 측도다.^[1]

정의

${\displaystyle G}$가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이라고 하자. 이 군에 콤팩트 집합들로 생성되는 시그마 대수 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$를 부여하여 가측 공간 ${\displaystyle (G,{\mathcal {K}})}$로 만들 수 있다.

하르 정리(영어: Haar's theorem)에 따르면, 가측 공간 ${\displaystyle (G,{\mathcal {K}})}$ 위에 다음을 만족하는 측도 ${\displaystyle \mu }$가 존재한다.

• (비자명성) ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$인 가측 집합 ${\displaystyle S}$가 존재한다.
• (왼쪽 곱셈과의 호환) ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$가 가측 집합이고, ${\displaystyle g\in G}$이면 ${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$이다.
• (콤팩트 공간의 유한성) ${\displaystyle K}$가 콤팩트 집합이라면 ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$이다.
• (외부 규칙성) ${\displaystyle S}$가 가측 집합이면 ${\displaystyle S}$를 부분집합으로 가지는 가측 열린집합들의 측도의 하한은 ${\displaystyle S}$의 측도와 같다.
• (내부 규칙성) ${\displaystyle U}$가 가측 열린집합이라면 ${\displaystyle U}$의 콤팩트 부분집합들의 측도의 상한은 ${\displaystyle U}$의 측도와 같다.

이 조건들을 모두 만족하는 측도를 왼쪽 하르 측도(영어: left Haar measure)라고 한다. 마찬가지로, 오른쪽 곱셈과 호환되는 측도를 오른쪽 하르 측도(영어: right Haar measure)라고 한다.

또한, ${\displaystyle \mu }$와 ${\displaystyle \mu '}$가 각각 하르 측도라면 ${\displaystyle \mu =s\mu '}$인 실수 ${\displaystyle s}$가 존재한다. 즉, 하르 측도는 곱셈 상수를 제외하고는 유일하다.

(내부 규칙성은 일반적 가측 집합에 대하여 성립하지 않지만 외부 규칙성은 임의의 가측 집합에 대하여 성립한다.)

예

이산군의 경우, 하르 측도는 셈측도이다.

유클리드 공간

유클리드 공간은 덧셈에 대하여 아벨 리 군을 이룬다. 이 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도는 일치하며, 모두 르베그 측도의 상수배이다.

곱셈군

0이 아닌 실수의 곱셈군 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$은 1차원 아벨 리 군이며, 그 하르 측도는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (t)={\frac {1}{|t|}}\mathrm {d} t}$

리 군

(유한 차원) 리 군의 경우, 왼쪽 (또는 오른쪽) 하르 측도는 왼쪽 (또는 오른쪽) 평행 이동 불변 최고차 미분 형식으로 정의된다.

일반 선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}$의 왼쪽 하르 측도는 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (M)={\frac {1}{\det M}}\mathrm {d} ^{n^{2}}M}$

여기서

${\displaystyle \mathrm {d} ^{n^{2}}M=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} M_{i,j}}$

이다.

역사

하르 얼프레드(헝가리어: Haar Alfréd)가 1933년 도입하였다.^[2] 하르는 제2 가산 공간의 경우에 하르 측도의 존재를 증명하였다. 앙드레 베유가 1940년 일반적인 하우스도르프 공간의 경우에 대하여 선택 공리를 사용하여 증명하였고,^[3] 앙리 카르탕은 같은 정리를 선택 공리를 사용하지 않고 증명하였다.^[4]

같이 보기

• 폰트랴긴 쌍대성