원환면 연환

매듭 이론에서 원환면 연환(圓環面連環, 영어: torus link)은 원환면 위에 간단하게 그려질 수 있는 연환이다.

(3,4)-원환면 매듭. 위 그림: ${\displaystyle a}$를 ${\displaystyle a}$와 붙이고, ${\displaystyle b}$를 ${\displaystyle b}$와 붙이면 이는 원환면을 이루며, 푸른 선들은 그 위의 원환면 매듭을 이룬다. 아래 그림: 같은 원환면 매듭을 꼬임으로 표현한 것.

정의

0이 아닌 두 정수 ${\displaystyle (p,q)\in (\mathbb {Z} \setminus \{0\})^{\times 2}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (p,q)}$-원환면 연환은 다음과 같은 3차원 곡선들의 집합으로 주어지는 연환이다.

${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \gcd\{p,q\}\mathbb {Z} \to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle t\mapsto \left(\cos(pt+2\pi k/\gcd\{p,q\})(\cos(qt)+2),\sin(pt+2\pi k/\gcd\{p,q\})(\cos(qt)+2),-\sin(qt)\right)}$

${\displaystyle k\in \{0,1,\dotsc ,\gcd\{p,q\}-1\}}$

이 곡선들은 원환면

${\displaystyle \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-2\right)^{2}+z^{2}=1\right\}}$

위에 속하는 연환을 정의한다.

즉, 이는 원환면을 다음과 같이 감는다.

• z축에 대하여, ${\displaystyle p}$번 감기
• 원환면의 중심에 있는 원에 대하여, ${\displaystyle q}$번 감기

매듭인 원환면 연환을 원환면 매듭(영어: torus knot)이라고 한다.

성질

${\displaystyle (p,q)}$-원환면 연환의 연결 성분의 수는

${\displaystyle \gcd\{p,q\}}$

이다. 즉, 이것이 원환면 매듭이 될 필요 충분 조건은 ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$가 서로소인 것이다.

${\displaystyle (p,q)}$-원환면 연환이 자명한 매듭일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle p=\pm 1}$이거나 ${\displaystyle q=\pm 1}$이다. 즉, ${\displaystyle \min\{|p|,|q|\}=1}$이다.

${\displaystyle (p,q)}$-원환면 연환과 ${\displaystyle (p',q')}$-원환면 연환이 동치일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle (p',q')\in \{(p,q),(-p,-q),(q,-p),(-q,p)\}}$이거나, 또는 ${\displaystyle \min\{|p|,|q|\}=\min\{|p'|,|q'|\}=1}$

즉, 자명한 매듭이 아닌 경우 항상

${\displaystyle p\geq |q|\geq 2}$

인 표준형으로 놓을 수 있다.

또한, ${\displaystyle (p,q)}$-원환면 연환의 거울 대칭 연환은 ${\displaystyle (p,-q)}$-원환면 연환이다.

교차수

${\displaystyle (p,q)}$-원환면 연환의 교차수는 다음과 같다.

${\displaystyle \min\{(|p|-1)|q|,(|q|-1)|p|\}}$

예

• 
  (1,±1)-원환면 매듭 (자명한 매듭 0₁)
• 
  (2,±2)-원환면 연환 (호프 연환 ${\displaystyle 2_{1}^{2}}$)
• 
  (3,2)-원환면 매듭 (오른손 세잎매듭 3₁)
• 
  (3,−2)-원환면 매듭 (왼손 세잎매듭 3₁)
• 
  (3,±3)-원환면 연환 (${\displaystyle 6_{3}^{3}}$)
• 
  (5,2)-원환면 매듭 (오른손 다섯잎매듭 5₁)
• 
  (5,−2)-원환면 매듭 (왼손 다섯잎매듭 5₁)
• 
  (8,2)-원환면 연환 ${\displaystyle 4_{1}^{2}}$
• 
  (8,−2)-원환면 연환 ${\displaystyle 4_{1}^{2}}$
• 
  (7,−2)-원환면 매듭 (7₁)
• 
  (7,−3)-원환면 매듭
• 
  (8,−3)-원환면 매듭
• 
  (8,3)-원환면 매듭
• 
  (12,2)-원환면 연환

이 밖에도, 원환면 매듭의 알렉산더-브리그스 기호 및 (연환의 경우) 시슬스웨이트 기호는 다음과 같다.

(p,q)	2	3
2	호프 연환 ${\displaystyle 2_{1}^{2}}$ (L2a1)
3	세잎매듭 31	${\displaystyle 6_{3}^{3}}$ (L6n1)
4	솔로몬 연환 ${\displaystyle 4_{1}^{2}}$ (L4a1)	819
5	다섯잎매듭 51	10124

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Torus knot”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Baker, Kenneth (2011년 3월 28일). “pq is qp”. 《Sketches of Topology》 (영어).