위그너-에카르트 정리

양자역학에서 위그너-에카르트 정리(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 구면 텐서 연산자의 각운동량 고유상태에 대한 기댓값은 각운동량의 전체 크기에만 의존하고, 특정 방향에 의존하지 않는다는 것이다.

유진 위그너와^[1] 칼 에카트(영어: Carl Eckart)^[2]가 증명하였다.

전개

3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현(irreducible representation)은 0, ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {1}{2}} }$, 1, ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {3}{2}} }$,등이 있다. (전체 각운동량을 굵은 글씨로 나타낸다.)

기약 표현 ${\displaystyle \mathbf {k} }$는 ${\displaystyle 2k+1}$개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 ${\displaystyle \mathbf {1} \otimes \dotsb \otimes \mathbf {1} }$은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 ${\displaystyle k}$가 정수인 표현 ${\displaystyle \mathbf {k} }$만을 포함하고, ${\displaystyle k}$가 반정수인 스피너 표현 (${\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {1}{2}} }$, ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {3}{2}} }$ 등)을 포함하지 않는다.

SU(2) 표현 ${\displaystyle \mathbf {j} }$를 따라 변환하는 값을 ${\displaystyle j}$차 구면 텐서(spherical tensor)라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 ${\displaystyle j}$차 구면 텐서 연산자(spherical tensor operator)라고 한다.

${\displaystyle k}$차 구면 연산자 ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ (${\displaystyle q=-k,-k+1,\dotsc ,k}$)를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저 ${\displaystyle |j,m\rangle }$ (즉, ${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}|j,m\rangle =j(j+1)|j,m\rangle }$, ${\displaystyle L_{3}|j,m\rangle =m|j,m\rangle }$을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.

${\displaystyle \langle j,m|T_{q}^{(k)}|j',m'\rangle =T(k,j,j')(\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle }$.

여기서 ${\displaystyle T(k,j,j')}$는 ${\displaystyle k}$와 ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle j'}$에만 의존하는 값이고, ${\displaystyle (\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle }$은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 위그너-에카르트 정리라고 한다.

낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리

흔히 다루는 텐서 연산자는 ${\displaystyle k=0}$인 스칼라 연산자나 ${\displaystyle k=1}$인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히

${\displaystyle \langle j,m|T|j',m'\rangle =T(j,j')\delta _{jj'}\delta _{mm'}}$

이다. (여기서 ${\displaystyle \delta }$는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle \langle j,m|T_{q}|j',m'\rangle =T(j,j')(\langle j',m'\otimes \langle 1,q|)|j,m\rangle }$

이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1},m;1,0|j_{1}+1,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1},m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1}-1,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}.\end{aligned}}}$

(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 ${\displaystyle T_{q}}$는 벡터로서의 성분 ${\displaystyle T_{i}}$ (${\displaystyle i=x,y,z}$)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

${\displaystyle T_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mp T_{x}+iT_{y})}$

${\displaystyle T_{0}=T_{z}}$.

같이 보기

• 랑데 지 인자