위그너 분류

위그너 분류(영어: Wigner’s classification)는 입자를 그 푸앵카레 표현에 따라 분류하는 방법이다.^[1][2] 유진 위그너가 1939년에 도입하였다.^[3][4]

4차원 위그너 분류

푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 ${\displaystyle P^{2}}$과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 ${\displaystyle W^{2}}$다. 이를 이용하여 입자를 분류할 수 있다.

유질량

${\displaystyle P^{2}>0}$인 경우다. 이 때는 ${\displaystyle P_{0}=0}$인 경우 (즉 정지틀에서는) 안정자군은 SO(3) (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3))이다. 따라서 유질량 입자는 양의 실수 ${\displaystyle m}$과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수(half-integer) 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다.

무질량

${\displaystyle P^{2}=0}$, ${\displaystyle P_{0}>0}$인 경우다. 이 때는 ${\displaystyle P_{0}=k}$, ${\displaystyle P_{3}=-k}$, ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=0}$인 경우를 생각하자. 이 때는 그 안정자군은 유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (2)}$다. ${\displaystyle \operatorname {ISO} (2)}$의 표현은 반정수의 나선도로 나타내어지는 것과 연속적인 실수로 나타내어지는 것이 있다. 후자는 연속 스핀 표현(continuous-spin representation)이라고 하며,^[5] 자연계에 존재하지 않는다.

타키온

${\displaystyle P^{2}<0}$인 경우는 타키온이다. 자연계에 존재하지 않는다.

진공

${\displaystyle P^{2}=0}$, ${\displaystyle P_{0}=0}$인 경우다. 이 경우에는 표현은 단 하나밖에 없으며, 진공을 나타낸다.

3차원 위그너 분류

3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다.^[6]

이 경우, 카시미르 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle P^{2}=m^{2}}$

${\displaystyle P\cdot J=mh}$

여기서 ${\displaystyle m}$은 불변 질량이며, ${\displaystyle h}$는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도 ${\displaystyle h}$는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다. 이 경우, 음이 아닌 에너지를 가진 표현의 분류는 다음과 같다.

• 유질량 ${\displaystyle m>0}$. 정지틀 안정자군이 ${\displaystyle O(2)}$이므로, 이는 나선도 ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$에 따라 분류된다.
  • ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$: 보손
  • ${\displaystyle h+1/2\in \mathbb {Z} }$: 페르미온
  • ${\displaystyle 2h\not \in \mathbb {Z} }$: 애니온
• 무질량 ${\displaystyle m=0}$. 이 경우 안정자군은 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2)\times \mathbb {R} }$이며, 표현은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 기약표현 ${\displaystyle \epsilon =\pm }$과 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 기약표현으로 나타내어진다. 후자의 기약표현은 실수 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 따라 분류된다.
  • 무질량 보손: ${\displaystyle (\epsilon =+,t=0)}$
  • 무질량 페르미온: ${\displaystyle (\epsilon =-,t=0)}$
  • 연속 스핀 표현: ${\displaystyle t\neq 0}$ (자연계에 존재하지 않음)
• 진공. 이 경우 안정자군은 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ 전체이다. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$의 표현은 여러 가지가 있으나, 자연계에 존재하는 것은 그 자명한 표현(진공)밖에 없다.

기타 대칭군

민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고,^[7] 초다중항들에 해당한다.

4차원 등각 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,2)}$의 경우에도 위그너 표현이 알려져 있다.^[8]

같이 보기

• 유도 표현
• 파울리-루반스키 벡터