위상수학자의 사인 곡선

일반위상수학에서 위상수학자의 사인 곡선(영어: topologist’s sine curve)은 일반위상수학의 많은 문제의 반례가 되는 위상 공간이다.

위상수학자의 사인 곡선

정의

평면의 부분집합 ${\displaystyle S}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle S=\left\{\left(x,\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right)\colon 0<x\leq 1\right\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$

위상수학자의 사인 곡선은 집합 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$에서의 폐포

${\displaystyle \operatorname {cl} S=S\cup \{(0,y)\colon y\in [-1,1]\}}$

이다.

성질

위상수학자의 사인 곡선 ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.
• 2개의 경로 연결 성분 ${\displaystyle S}$와 ${\displaystyle \{(0,y)\colon y\in [-1,1]\}}$을 갖는다.

위상 공간 ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$은 다음 성질들을 만족시킨다.^[1]:137

• 국소 콤팩트 공간이 아니다.
  • ${\displaystyle (0,0)\in S}$는 콤팩트 근방이 없다.
• 국소 콤팩트 공간의 연속 함수에 대한 상이다.
  • 구체적으로, ${\displaystyle \{-1\}\cup (0,1]\to S\cup \{(0,0)\}}$, ${\displaystyle -1\mapsto (0,0)}$, ${\displaystyle x\mapsto (x,\sin(1/x))}$ (${\displaystyle \forall x\in (0,1]}$)은 전사 연속 함수이며, ${\displaystyle \{-1\}\cup (0,1]}$은 국소 콤팩트 공간이다.
• 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.
• 2개의 경로 연결 성분 ${\displaystyle S}$와 ${\displaystyle \{(0,0)\}}$을 갖는다.

위상 공간

${\displaystyle \operatorname {cl} S\cup \{(x,1)\colon 0\leq x\leq 1\}}$

은 다음 성질들을 만족시킨다.^[1]:137

• 호 연결 공간이다.
• 국소 연결 공간이 아니다.