유계 작용소

함수해석학에서 유계 작용소(有界作用素, 영어: bounded operator)는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다.

정의

위상체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle T}$를 유계 작용소라고 한다.^{[1]:24, §1.31}

• 임의의 유계 집합의 상은 유계 집합이다.

즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다.

여기서, 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 집합 ${\displaystyle B\subseteq V}$이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다.

• 임의의 0의 근방 ${\displaystyle U\ni 0}$에 대하여, ${\displaystyle B\subseteq \alpha U}$인 ${\displaystyle \alpha \in K}$가 존재한다.

${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$ 사이의 유계 작용소들의 집합은 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}$라고 한다. 이는 자연스럽게 ${\displaystyle K}$-벡터 공간을 이룬다.

균등 공간 구조

위상체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$이 주어졌을 때,

• ${\displaystyle V}$ 위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 ${\displaystyle \operatorname {Born} (V)}$가 존재한다.
• ${\displaystyle W}$ 위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다.

이에 따라, 함수 집합 ${\displaystyle W^{V}}$ 위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq W^{V}}$에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}$는 ${\displaystyle K}$-위상 벡터 공간을 이룬다.

만약 ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.

작용소 위상

유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상인 강한·약한 작용소 위상을 부여할 수도 있다.

함수 집합 ${\displaystyle W^{V}}$에 곱위상을 부여하면, ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq W^{V}}$이므로 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}$에 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 강한 작용소 위상(強한作用素位相, 영어: strong operator topology)이라고 한다.

마찬가지로, ${\displaystyle W}$에 약한 위상을 부여한 것을 ${\displaystyle W^{\text{weak}}}$로 놓고, 함수 집합 ${\displaystyle (W^{\text{weak}})^{V}}$에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)\subseteq (W^{\text{weak}})^{V}}$을 약한 작용소 위상(弱한作用素位相, 영어: weak operator topology)이라고 한다.

강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 ${\displaystyle V}$의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.

성질

연속성과의 관계

위상체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ 사이의 모든 연속 ${\displaystyle K}$-선형 변환은 유계 작용소이다.^{[1]:24, Theorem 1.32[2]:III.4, Proposition III.1.4}

증명:

연속 ${\displaystyle K}$-선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 ${\displaystyle B\subseteq V}$ 및 임의의 ${\displaystyle 0_{W}}$의 근방 ${\displaystyle 0\in U\subseteq W}$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, ${\displaystyle T^{-1}(U)}$는 ${\displaystyle 0_{V}}$의 근방이며, ${\displaystyle B}$가 유계 집합이므로 ${\displaystyle \alpha T^{-1}(U)\supseteq B}$가 되는 스칼라 ${\displaystyle \alpha \in K}$를 찾을 수 있다. 그렇다면 ${\displaystyle \alpha U\supseteq T(B)}$이다.

따라서 ${\displaystyle T(B)}$는 유계 집합이다.

만약 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며, ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.^{[1]:24, Theorem 1.32} (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.^{[3]:253, Example 8.8.8})

작용소 노름

 이 부분의 본문은 작용소 노름입니다.

만약 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$이며, ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간일 경우, ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}$는 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다.^{[1]:92–93, Theorem 4.1} 만약 ${\displaystyle W}$가 바나흐 공간이라면, ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}$ 역시 바나흐 공간을 이룬다.^{[1]:92–93, Theorem 4.1}

유계 작용소 공간 위의 위상의 관계

자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다.

균등 수렴 위상	⊃	강한 작용소 위상
∪		∪
균등 수렴 위상의 약한 위상		약한 작용소 위상

여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.

실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.

균등 수렴 위상	⊃	강한 작용소 위상
∪		∪
균등 수렴 위상의 약한 위상	⊃	약한 작용소 위상

증명:

두 노름 공간 ${\displaystyle V,W}$ 사이의 작용소열 ${\displaystyle T_{0},T_{1},\dotsc \in \operatorname {B} (V,W)}$ 및 ${\displaystyle T_{\infty }\in \operatorname {B} (V,W)}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle T_{i}}$가 ${\displaystyle T_{\infty }}$로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다.

약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

${\displaystyle \forall \phi \in \operatorname {B} (V,W)'\colon \phi (T_{i})\to \phi (T_{\infty })}$

약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

${\displaystyle \forall v\in V\forall \chi \in W'\colon \chi (T_{i}v)\to \chi (T_{\infty }v)}$

즉, 임의의 ${\displaystyle (v,\chi )\in V\oplus W'}$에 대하여,

${\displaystyle \phi _{v,\chi }\colon \operatorname {B} (V,W)\to K}$

${\displaystyle \phi _{v,\chi }\colon T\mapsto \chi (Tv)}$

를 정의하면, ${\displaystyle \phi _{v,\chi }\in \operatorname {B} (V,W)'}$인 것을, 즉 (${\displaystyle \operatorname {B} (V,W)}$의 작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는

${\displaystyle |\chi (Tv)|\leq \|\chi \|\|Tv\|\leq \|\chi \|\|T\|\|v\|\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)}$

이므로

${\displaystyle \|\phi _{v,\chi }\|\leq \|\chi \|\|v\|<\infty }$

이다.

예

두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.

르베그 실수열 공간 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {R} )}$ 위의 연산자

${\displaystyle L\colon (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

는 노름이 1인 유계 작용소이다.

라플라스 연산자

${\displaystyle \Delta \colon \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

는 유계 작용소이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}}$는 하디 공간이며, ${\displaystyle L^{2}}$는 L^p 공간의 하나이다.